Romberg-Integration

Die Romberg-Integration ist ein Verfahren zur numerischen Bestimmung von Integralen und wurde von Werner Romberg entwickelt. Sie ist eine Verbesserung der (Sehnen)-Trapezregel durch Extrapolation.

Grundgedanke

Die Romberg-Integration basiert auf der Richardson-Extrapolation zum Limes über die Schrittweite einer summierten Quadraturformel, wie bspw. der Trapezregel. Die Trapezregel ist hier besonders zu erwähnen, da sie einfach zu berechnen ist, und zudem eine Entwicklung in quadratischen Potenzen der Schrittweite besitzt, also eine Extrapolation in Quadraten der Schrittweite möglich ist, die deutlich schneller konvergiert als die einfach Extrapolation zum Limes. Mit Schrittweite \(\displaystyle h\) ist hier die Breite der Trapeze bei der Trapezregel gemeint.
Der aufwändige Teil der numerischen Integration sind oft die Funktionsauswertungen. Um deren Anzahl minimal zu halten ist es somit ratsam einen Schrittweitenverlauf zu wählen, der die Weiterverwendung von bereits berechneten Funtionswerten erlaubt. Ein Beispiel für eine solche Schrittweite wäre \(\displaystyle h_n=\dfrac{h_1}{2^{n-1}}\), das zugleich die Bedingungen für eine konvergente Extrapolation erfüllt. Also
\(\displaystyle 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16},\dfrac{1}{32},\dots\)
Bei dieser sogenannten Romberg-Folge wächst die Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen bei großen \(\displaystyle n\) schnell an, was nicht immer erwünscht ist.
Um diesem abzuhelfen kann auch die Bulirsch-Folge verwendet werden:
\(\displaystyle 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{8},\dots\)
Hier werden Glieder mit \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) zwischengeschaltet.
 
 

Rechenvorschrift

\(\displaystyle I = \int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} I_{n,k} \)
mit
\(\displaystyle I_{n,k} = I_{n+1,k-1} + \dfrac{I_{n+1,k-1} - I_{n,k-1} }{\left(\dfrac{h_n}{h_{n+1}}\right)^{2(k-1)} - 1 } \)
dabei ist
\(\displaystyle I_{1,1} = \dfrac{h_1}{2} (f(a)+f(b)) \) (Trapezregel)
\(\displaystyle I_{n,1} = \dfrac{h_n}{2} \left( f(a)+ f(b) + 2\sum\limits_{i=1}^{\dfrac{h_1}{h_n}-1} f \left( a + i\,h_n \right) \, \right) \) (aufsummierte Trapezregel mit mehrfachen Intervallen)
und
\(\displaystyle k \in [ 1 , n+1] \quad \in \mathbb{N} \)
\(\displaystyle h_1= b-a \, \)
\(\displaystyle h_n \) die im \(\displaystyle n\)-ten Schritt verwendete Schrittweite (siehe oben)
das Fehlerglied hat den Wert:
\(\displaystyle E = \dfrac{I_{1, n + 1} - I_{1, n}} { I_{1, n} } \)

Anmerkungen

Eine Unterschreitung der hier definierten Fehlerschranke bedeutet nicht immer, dass das Integral korrekt berechnet wurde. Dies gilt besonders für periodische Funktionen und Funktionen mit einem periodischen Anteil. So führt z.B. das bei der Fourier-Analyse periodischer Funktionen vorkommende Integral
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{2 \pi} f(x) * cos(2^n x) dx \)
u. U. zu einem Fehler, wenn man nicht mindestens \(\displaystyle n+1\) Integrationsstufen berechnet. In den ersten \(\displaystyle n\) Integrationsstufen fallen alle Stützstellen mit den Nullstellen der Funktion zusammen. Als Integral erhält man daher immer den Wert Null, egal ob es stimmt oder nicht. Ein Computerprogramm sollte also immer eine Mindestanzahl an Integrationsstufen erzwingen.

Fazit

Der große Vorteil der Romberg- Quadratur gegenüber anderen Verfahren besteht in der Möglichkeit, den Fehler im Nachhinein zu kontrollieren und schon erreichte Ergebnisse weiterzuverwenden, wenn die Genauigkeit noch nicht erreicht ist.

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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