Trapezregel

Die Trapezregel beschreibt ein mathematisches Verfahren, wie man das Integral einer Funktion im Intervall \(\displaystyle [a,b]\) numerisch annähert. Das entspricht der Fläche unter der Kurve \(\displaystyle f(x)\) bei kartesischer Darstellung.
Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve durch ein Trapez, oder bei Stückelung des Intervalls durch mehrere Trapeze.
Man kann die Kurve \(\displaystyle f(x)\) näherungsweise durch eine Sehne zwischen den Funktionswerten an den Stellen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel. Man kann aber auch in der Mitte von \(\displaystyle [a,b]\) die Tangente an \(\displaystyle f(x)\) legen und erhält dann die Tangententrapezformel.
 
 

Beispiel

\(\displaystyle J(f) = \int\limits_{0}^{2}3^{3x-1} \, \mathrm{d}x \)\(\displaystyle = \over{728 }{ {9 \ln(3)}} = 73{,}6282396649\dots \)
Nun gilt es mit Hilfe der Trapezformel als Näherungsverfahren dieses Integral zu bestimmen.

Sehnentrapezformel

Sehnentrapezformel.png
Sehnentrapez
\(\displaystyle J(f) = \int\limits_{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = Q(f) + E(f) \)
Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie \(\displaystyle [a,b]\) (dem Intervall auf der \(\displaystyle x\)-Achse), den senkrechten Geraden \(\displaystyle [a,f(a)]\) und \(\displaystyle [b,f(b)]\) sowie der Sehne als Verbindungsgerade zwischen \(\displaystyle f(a)\) und \(\displaystyle f(b)\). Diese Sehne ersetzt die Kurve \(\displaystyle f(x)\).
Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:
\(\displaystyle Q(f) = \dfrac{b-a}{2}\ (f(a)+f(b)) \)
Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der "Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche" (siehe Numerische Quadratur).
Ist \(\displaystyle f(x)\) zweimal stetig differenzierbar in \(\displaystyle [a,b]\), dann gilt für das Restglied \(\displaystyle E(f)\) folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):
\(\displaystyle \left| E(f) \right| \le \over{(b-a)^3 }{ 12} \max_{a\le x \le b} {\left| f(x) \right|} \)
Ist \(\displaystyle f(x)\) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle \(\displaystyle \zeta\) aus \(\displaystyle [a,b]\):
\(\displaystyle E(f) = - \over{(b-a)^3 }{ 12} \cdot {{f(\zeta)}} \)
Anschließend an das obige Beispiel:
\(\displaystyle Q(f) = \over{(2-0) }{ 2} \cdot \left( f(0) + f(2) \right) \)\(\displaystyle = \over{730 }{ 3} = 243,33333\dots \)

Zusammengesetzte Sehnentrapezformel

\(\displaystyle J(f) = \int\limits_{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = Q(f)^{(n)} + E^{(n)}(f) \)
Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall \(\displaystyle [a,b]\) in \(\displaystyle n\) nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge \(\displaystyle h\) (mit \(\displaystyle h = (b - a) / n\)). In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel:
\(\displaystyle Q(f)=h \ \left(\over{1}{ 2} \cdot f(a) \ + \ \sum\limits_{i=1}^{n-1} f(a + i \cdot h) \ + \ \over{1}{ 2} \cdot f(b) \right) \)
mit
\(\displaystyle h = \over{(b - a) }{ n}\)
Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:
\(\displaystyle \left| E(f) \right| \le \over{(b-a) }{ 12}h^2 \max_{a\le x \le b} {\left| f(x) \right|} \)
bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle \(\displaystyle \zeta\) aus dem Intervall \(\displaystyle [a,b]\):
\(\displaystyle E(f)= - \over{(b-a) }{ 12} \cdot h^2 \cdot f(\zeta) \)
Anschließend an das obige Beispiel: Sei die Schrittweite \(\displaystyle h = \over{1 }{ 3} \ge n = 6\)
\(\displaystyle Q^{(6)}(f) = \over{1 }{ 3} \cdot \left( \over{1 }{ 2} \ f(0) + f\left(\over{1 }{ 3}\right) + f\left(\over{2 }{ 3}\right) + f(1) + f\left(\over{4 }{ 3}\right) + f\left(\over{5 }{ 3}\right) + \over{1 }{ 2} \ f(2) \right) \)\(\displaystyle = \over{728 }{ 9} = 80,88888\dots \)

Tangententrapezformel

Tangententrapezformel.png
Tangententrapez
Die obere Seite des Trapezes wird hier gebildet, indem man in der Mitte des Intervalls \(\displaystyle [a,b]\) eine Tangente an \(\displaystyle f(x)\) legt. Die restlichen Seiten sind die Grundlinie \(\displaystyle [a,b]\) (das Intervall auf der \(\displaystyle x\)-Achse) und die senkrechten Geraden an den Stellen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) bis zur Tangente.
Die Tangententrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:
\(\displaystyle Q(f) = (b - a) \ f\left(\over{a + b }{ 2} \right)\)
Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der "Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche" (siehe Numerische Quadratur).
Damit lässt sich das Integral darstellen als
\(\displaystyle J(f) = \int\limits_{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = Q(f) + E(f)\)
Ist \(\displaystyle f(x)\) zweimal stetig differenzierbar in \(\displaystyle [a,b]\), dann gilt für das Restglied \(\displaystyle E(f)\) folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):
\(\displaystyle \left| E(f) \right| \le \over{(b-a)^3 }{ 24} \max_{a\le x \le b} {\left| f(x) \right|} \)
Ist \(\displaystyle f(x)\) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle \(\displaystyle \zeta\) aus \(\displaystyle [a,b]\):
\(\displaystyle E(f) = - \over{(b-a)^3 }{ 24} \cdot {{f(\zeta)}} \)
Anschließend an das obige Beispiel:
\(\displaystyle \ Q(f) = (2-0) \cdot f(1) = 18 \)

Zusammengesetzte Tangententrapezformel

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall \(\displaystyle [a,b]\) in \(\displaystyle n\) nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge \(\displaystyle h\). In jedem Teilintervall wendet man die Tangententrapezformel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte Tangententrapezformel:
\(\displaystyle Q(f)=h \cdot \sum\limits_{i=1}^n f(a \ + \ h \cdot \over{2i - 1 }{ 2}) \)
mit
\(\displaystyle h = \over{(b - a) }{ n} \)
Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:
\(\displaystyle \left| E(f) \right| \le \over{(b - a) }{ 24} \ h^2 \max_{a\le x \le b} {\left| f(x) \right|} \)
bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle \(\displaystyle \zeta\) aus dem Intervall \(\displaystyle [a,b]\):
\(\displaystyle E(f)=\over{(b - a) }{ 24} \cdot h^2 \cdot f(\zeta) \)
Anschließend an das obige Beispiel: Sei die Schrittweite \(\displaystyle h = \over{1 }{ 3} \ge n = 6\)
\(\displaystyle Q^{(6)}(f) = \over{1 }{ 3} \cdot \left( f\left(\over{1 }{ 6}\right) + f\left(\over{3 }{ 6}\right) + f\left(\over{5 }{ 6}\right) + f\left(\over{7 }{ 6}\right) + f\left(\over{9 }{ 6}\right) + f\left(\over{11 }{ 6}\right) \right) \)\(\displaystyle = \over{364 \sqrt 3 }{ 9} \)\(\displaystyle = 70,05183266\dots \)

Siehe auch

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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