Newton-Cotes-Formeln

Eine Newton-Cotes-Formel ist eine mathematische Formel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde, die zu integrierende Funktion durch ein Polynom zu interpolieren und dieses als Näherung exakt zu integrieren. Die entsprechenden Formeln sind nach den englischen Mathematikern Isaac Newton und Roger Cotes benannt.
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Definition

Zur numerischen Integration mit Hilfe einer Newton-Cotes-Formel wird das Intervall \(\displaystyle [a,b]\) in \(\displaystyle n\) gleich große Teilintervalle unterteilt werden. Dadurch erhält man \(\displaystyle n + 1\) Stützstellen mit
\(\displaystyle a \leq x_0 < x_1 < \ldots < x_n \leq b\)
Gilt dabei \(\displaystyle a = x_0\) und \(\displaystyle b = x_n\), so spricht man von einer abgeschlossenen Newton-Cotes-Formel, andernfalls von einer offenen Newton-Cotes-Formel. Als Newton-Cotes-Formel selbst bezeichnet man die Summe
\(\displaystyle Q(f) = \sum\limits_{i=0}^n w_i f(x_i)\)
mit den Gewichten
\(\displaystyle w_i = \int\limits_a^b L_i(x) \, dx\)
Dabei bezeichnet \(\displaystyle L_i(x)\) das \(\displaystyle i\)-te Lagrange-Polynom.
\(\displaystyle L_i(x) = \dfrac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)} {(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\)

Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln

Bei den abgeschlossenen Formeln sind die Gewichte [!symmetrisch], das heißt \(\displaystyle w_{n-i}=w_i\). Die folgende Tabelle listet einige Spezialfälle.
Grad \(\displaystyle n\) Name Gewichte \(\displaystyle w_i\)
1 Trapezregel \(\displaystyle \dfrac{1}{2} \quad \dfrac{1}{2}\)
2 Simpson-Regel / Keplersche Fassregel \(\displaystyle \dfrac{1}{6} \quad \dfrac{4}{6} \quad \dfrac{1}{6}\)
3 3/8 - Regel oder auch Pulcherima \(\displaystyle \dfrac{1}{8} \quad \dfrac{3}{8} \quad \dfrac{3}{8} \quad \dfrac{1}{8}\)
4 Milne-Regel \(\displaystyle \dfrac{7}{90} \quad \dfrac{32}{90} \quad \dfrac{12}{90} \quad \dfrac{32}{90} \quad \dfrac{7}{90}\)
5 \(\displaystyle \dfrac{19}{288} \quad \dfrac{75}{288} \quad \dfrac{50}{288} \quad \dfrac{50}{288} \quad \dfrac{75}{288} \quad \dfrac{19}{288}\)
6 Weddle-Regel \(\displaystyle \dfrac{41}{840} \quad \dfrac{216}{840} \quad \dfrac{27}{840} \quad \dfrac{272}{840} \quad \dfrac{27}{840} \quad \dfrac{216}{840} \quad \dfrac{41}{840}\)
Für große \(\displaystyle n\) sind diese Formeln aus praktischer Sicht unbrauchbar, da viele Funktionswerte ausgewertet werden müssen. Dabei kommt es vermehrt zu Rundungsfehlern und Auslöschung. Ab \(\displaystyle n=8\) treten in etlichen Formeln sogar negative Gewichte auf.

Offene Newton-Cotes-Formeln

Grad \(\displaystyle n\) Name Stützstellen \(\displaystyle x_i\) Gewichte \(\displaystyle w_i\)
0 Mittelpunktsregel \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\) 1
1 \(\displaystyle \dfrac{1}{4} \quad \dfrac{3}{4}\) \(\displaystyle \dfrac{1}{2} \quad \dfrac{1}{2}\)
2 \(\displaystyle \dfrac{1}{6} \quad \dfrac{1}{2} \quad \dfrac{5}{6}\) \(\displaystyle \dfrac{3}{8} \quad \dfrac{2}{8} \quad \dfrac{3}{8}\)
3 \(\displaystyle \dfrac{1}{8} \quad \dfrac{3}{8} \quad \dfrac{5}{8} \quad \dfrac{7}{8}\) \(\displaystyle \dfrac{13}{48} \quad \dfrac{11}{48} \quad \dfrac{11}{48} \quad \dfrac{13}{48}\)

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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