Simpsonsche Formel

Mit der Simpsonschen Formel (auch Simpsonregel) berechnet man Näherungen zu einem Integral der Funktion \(\displaystyle f(x)\) im Intervall \(\displaystyle [a,b]\), indem man die Kurve \(\displaystyle f(x)\) durch eine Parabel annähert. Die Formel wurde erstmals benutzt von Evangelista Torricelli, ist aber benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Simpson. Sie ist die allgemeine Formulierung der Keplerschen Fassregel, die Johannes Kepler schon 200 Jahre früher aufstellte.
Simpson_rule.png
Simpsonsche Formel
Die Parabel wird durch die Funktionswerte an den Stellen \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle (a+b)/2\) gelegt. Die Fläche nähert man an durch die Fläche unterhalb der Parabel.
 
 

Definition

Die Simpsonsche Formel lautet:
\(\displaystyle Q(f) = \dfrac{b-a}{6} \cdot \left( f(a)+4f \left( \dfrac{a+b}{2} \right)+f(b) \right)\)
Diese Formel - und auch die folgenden - kann man herleiten aus der "Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche" (siehe Numerische Quadratur).

Integraldarstellung

Damit lässt sich das Integral darstellen als
\(\displaystyle J(f) = \int\limits_{a}^{b}f(x) \mathrm dx = Q(f) + E(f)\)

Restglied

Ist \(\displaystyle f(x)\) viermal stetig differenzierbar in \(\displaystyle [a,b]\), dann gilt für das Restglied \(\displaystyle E(f)\) folgende Abschätzung (siehe Numerische Quadratur):
\(\displaystyle \left| E(f) \right| \le \over{(b-a)^5 }{ 2880} \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|} \)
Ist \(\displaystyle f(x)\) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle \(\displaystyle \zeta\) aus \(\displaystyle [a,b]\) für das Restglied:
\(\displaystyle E(f) = - \over{(b-a)^5 }{ 2880}{{f^{(4)}(\zeta)}}\)
Diese Restglieddarstellung wurde 1887 von Giuseppe Peano gefunden.

Summierte Simpsonsche Formel

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall \(\displaystyle [a,b]\) in \(\displaystyle N\) nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle der Länge \(\displaystyle h\). In jedem Teilintervall wendet man die Simpsonsche Formel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte oder zusammengesetzte Simpsonsche Formel:
\(\displaystyle Q(f)=\over{h }{ 3} \cdot \left( \over{1}{ 2} f(x_0)+\sum\limits_{k=1}^{N-1}f(x_k)+2\sum\limits_{k=1}^{N}f \left( \over{{x_{k-1}+x_k} }{ 2} \right)+\over{1}{ 2} f(x_N) \right)\)
mit \(\displaystyle h = \dfrac{b-a}{N}, \ x_k=a+k\cdot h\)
Man sieht leicht einen Zusammenhang mit der Sehnentrapezformel \(\displaystyle Q_S(f)\) und der Tangententrapezformel \(\displaystyle Q_T(f)\):
\(\displaystyle Q(f)=\over{1 }{ 3} \left( Q_S(f)+2Q_T(f) \right) \)

Fehlerabschätzung für das Restglied

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:
\(\displaystyle \left| E(f) \right| \le \over{(b-a) }{ 2880}h^4 \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|} \)
bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle \(\displaystyle \zeta\) aus dem Intervall \(\displaystyle [a,b]\):
\(\displaystyle E(f)=-\over{(b-a) }{ 2880}h^4f^{(4)}(\zeta) \)

Siehe auch

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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