Mittelpunktsregel

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Mittelpunktsregel
Die Mittelpunktregel (auch Rechteckregel) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Man nimmt dabei den Mittelpunkt des Intervalls \(\displaystyle [a;b]\) und multipliziert den Funktionswert an dieser Stelle mit der Intervallbreite \(\displaystyle (b-a)\) um das Integral zu bekommen:
\(\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)dx \approx f\left(\dfrac{(a+b)}{2} \right) \cdot (b-a)\).
Bei der zusammengesetzten Mittelpunktsregel wird nun das Intervall \(\displaystyle [a,b]\) in \(\displaystyle n\) Teilintervalle aufgeteilt. Anschließend führt man die Mittelpunktsregel für jedes der Teilintervalle aus und summiert die Flächen auf.
 
 

Beispiel

Es sei eine Funktion \(\displaystyle f(x) = \ln x\) im Intervall \(\displaystyle [2;6]\) zu integrieren. Dazu wäre die Berechnung des Integrals \(\displaystyle \int\limits_2^6 f(x) dx = \int\limits_2^6 \ln x dx\) nötig.
Rechteckverfahren
  1. Zerlegung des Intervalls [2;6] in vier Teilintervalle: [2;3], [3;4], [4;5] und [5;6] mit den Intervallmitten 2,5, 3,5, 4,5 und 5,5.
  2. Berechnung von: \(\displaystyle \dfrac{6-2}{4} \cdot (f(2,5) + f(3,5) + f(4,5) + f(5,5)) \)\(\displaystyle = \dfrac{4}{4} (\ln 2,5 + \ln 3,5 + \ln 4,5 + \ln 5,5) \)\(\displaystyle \approx 0,9163 + 1,2528 + 1,5041 + 1,7047 = 5,3779\)
  3. Es gilt also \(\displaystyle \int\limits_2^6 f(x) dx \approx 5,3779\)
Die analytische Lösung ist: \(\displaystyle \int\limits \ln x dx = x \ln x - x + C\)
Demnach ist \(\displaystyle \int\limits_2^6 f(x) dx = 5,3642\dots \)

Siehe auch

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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