Mittelpunktsregel

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Mittelpunktsregel
Die Mittelpunktregel (auch Rechteckregel) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Man nimmt dabei den Mittelpunkt des Intervalls [a;b][a;b] und multipliziert den Funktionswert an dieser Stelle mit der Intervallbreite (b−a)(b-a) um das Integral zu bekommen:
∫abf(x)dx≈f((a+b)2)⋅(b−a)\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \approx f\left(\dfrac{(a+b)}{2} \right) \cdot (b-a).
Bei der zusammengesetzten Mittelpunktsregel wird nun das Intervall [a,b][a,b] in nn Teilintervalle aufgeteilt. Anschließend führt man die Mittelpunktsregel für jedes der Teilintervalle aus und summiert die Flächen auf.

Beispiel

Es sei eine Funktion f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x im Intervall [2;6][2;6] zu integrieren. Dazu wäre die Berechnung des Integrals ∫26f(x)dx=∫26ln⁡xdx\int\limits_2^6 f(x) dx = \int\limits_2^6 \ln x dx nötig.
Rechteckverfahren
  1. Zerlegung des Intervalls [2;6] in vier Teilintervalle: [2;3], [3;4], [4;5] und [5;6] mit den Intervallmitten 2,5, 3,5, 4,5 und 5,5.
  2. Berechnung von: 6−24⋅(f(2,5)+f(3,5)+f(4,5)+f(5,5))\dfrac{6-2}{4} \cdot (f(2,5) + f(3,5) + f(4,5) + f(5,5)) =44(ln⁡2,5+ln⁡3,5+ln⁡4,5+ln⁡5,5) = \dfrac{4}{4} (\ln 2,5 + \ln 3,5 + \ln 4,5 + \ln 5,5) ≈0,9163+1,2528+1,5041+1,7047=5,3779 \approx 0,9163 + 1,2528 + 1,5041 + 1,7047 = 5,3779
  3. Es gilt also ∫26f(x)dx≈5,3779\int\limits_2^6 f(x) dx \approx 5,3779
Die analytische Lösung ist: ∫ln⁡xdx=xln⁡x−x+C\int\limits \ln x dx = x \ln x - x + C
Demnach ist ∫26f(x)dx=5,3642…\int\limits_2^6 f(x) dx = 5,3642\dots

Siehe auch

 
 

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