Trigonometrische Interpolation

Die trigonometrische Interpolation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Numerik. Man sucht dabei zu vorgegebenen Punkten ein trigonometrisches Polynom (eine Summe von Sinus und Cosinus gegebener Periodenlängen), welches durch alle diese Punkte geht. Es handelt sich also um ein spezielles Interpolationsverfahren, das insbesondere für die Interpolation periodischer Funktionen geeignet ist.
Sind die Abstände zwischen den vorgegebenen Punkten gleich, so liegt ein wichtiger Spezialfall vor. Bei diesem kann die Lösung mittels der diskreten Fouriertransformation berechnet werden.
 
 

Formulierung des Interpolationsproblems

Ein trigonometrisches Polynom vom Grad \(\displaystyle n\) hat die Form
\(\displaystyle p(x) = a_0 + \sum\limits_{j=1}^n a_j \cos(jx) + \sum\limits_{j=1}^n b_j \sin(jx)\, \, \)
Dieser Ausdruck besitzt \(\displaystyle 2n+1\) Koeffizienten \(\displaystyle a_0, a_1, \dots a_n, b_1, \dots b_n\), sodass wir \(\displaystyle 2n+1\) Interpolationsbedingungen voraussetzen:
\(\displaystyle p(x_k) = y_k\), \(\displaystyle k=1,\ldots,2n+1\, \, \)
Das das trigonometrische Polynom periodisch mit der Periode \(\displaystyle 2\pi\) ist, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
\(\displaystyle 0 \le x_0 < x_1 < \cdots < x_{2n} < 2\pi \, \)
voraussetzen. Allgemeiner ist es aber zu sagen, dass
\(\displaystyle x_i\in\mathbb{R}/2\pi \) (hierbei ist \(\displaystyle x=y\), falls \(\displaystyle x-y = k2\pi, k \in \mathbb{N}\))
(Anmerkung: Im Allgemeinen ist es nicht notwendig, dass diese Punkte äquidistant sind). Das Interpolationsproblem liegt nun darin, Koeffizienten zu finden, sodass das trigonometrische Polynome \(\displaystyle p\) die Interpolationsbedingungen erfüllt.

Lösung des Problems

Unter den oben aufgeführten Bedingungen existiert eine eindeutige Lösung des Problem. Diese Lösung kann in einer zur Interpolationsformel von Lagrange ähnlichen Form angegeben werden:
\(\displaystyle p(x) = \sum\limits_{k=1}^{2n+1} y_k \prod\limits_{j=1,j\ne k}^{2n+1} \dfrac{\sin\dfrac12(x-x_j)}{\sin\dfrac12(x_k-x_j)}\, \, \)
Es kann gezeigt werden, dass dies ein trigonometrisches Polynom ist, indem man die Formel für Vielfache der Winkel und andere Identitäten für \(\displaystyle \sin\dfrac12(x-x_j)\) anwendet.

Formulierung in der komplexen Ebene

Das Problem wird einfacher, wenn wir es in der komplexen Ebene beschreiben. Wir können die Formel für ein trigonometrisches Polynom umschreiben zu
\(\displaystyle p(x) = \sum\limits_{j=-n}^n c_j e^{ijx}, \, \)
wobei \(\displaystyle i\) die imaginäre Einheit ist. Setzen wir \(\displaystyle z = e^{ix}\), dann wird daraus
\(\displaystyle p(z) = \sum\limits_{j=-n}^n c_j z^{j}\, \, \)
Dadurch wird das Problem der trigonometrischen Interpolation auf eines der Polynominterpolation auf dem Einheitskreis reduziert. Die Existenz und Eindeutigkeit der trigonometrischen Interpolation folgen unmittelbar aus den entsprechenden Ergebnissen für die Polynominterpolation.

Äquidistante Stützstellen und die diskrete Fouriertransformation

Der spezielle Fall, wenn die Punkte \(\displaystyle x_k\) äquidistant verteilt sind ist besonders wichtig. In diesem Fall gilt
\(\displaystyle x_k = \dfrac{2k\pi}{2n+1}\)
Die Transformation, die die Stützstellen \(\displaystyle y_k\) auf die Koeffizienten \(\displaystyle a_j\) und \(\displaystyle b_j\) abbildet wird diskrete Fouriertransformation (DFT) der Ordnung \(\displaystyle 2n+1\) genannt.
(Auf Grund der Art, wie das Problem weiter oben formuliert wurde, haben wir uns selbst auf eine gerade Anzahl von Stützpunkten beschränkt. Dies ist jedoch nicht notwendig; bei einer ungeraden Anzahl von Stützstellen nimmt man einen zusätzlichen Cosinus-Term auf, der mit der Nyquist-Frequenz korrespondiert.)
Der Fall einer rein cosinus-basierten Interpolation für äquidistant verteilte Stützstellen, der auf ein trigonometrisches Polynom führt, wenn die Stützstellen ungerade symmetrisch sind, wurde 1754 von Alexis Clairaut behandelt. In diesem Fall ist die Lösung äquivalent zu einer diskreten Cosinustransformation. Die rein sinus-basierten Interpolation für äquidistant verteilte Stützstellen, die einer diskreten Sinustransformation. Das vollständige Cosinus- und Sinus-Interpolationspolynom, das zur DFT führte, wurde von Carl Friedrich Gauß um 1805 in einer unveröffentlichten Arbeit gelöst, in der er auch einen Algorithmus zur schnellen Fouriertransformation hergeleitet hat um die Polynome zu berrechnen. Clairaut, Lagrange und Gauß beschäftigten sich alle mit dem Problem die Bahn von Planeten, Asteroiden, usw. aus einer endlichen Menge von Beobachtungspunkten herzuleiten. Da die Bahnen selbst periodisch sind, war ein trigonometrisches Polynom die natürliche Wahl.

Literatur

  • M. T. Heideman, D. H. Johnson, and C. S. Burrus: Gauss and the history of the fast Fourier transform. In: IEEE ASSP Magazine 1 (4), 14/21/1984

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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