Übersicht über Interpolationsverfahren

Lineare Interpolation

Die von Isaac Newton begründete lineare Interpolation ist am einfachsten und wird wohl in der Praxis am häufigsten benutzt. Hier werden zwei gegebene Datenpunkte f0f_0 und f1f_1 durch eine Strecke verbunden. Es gilt:
f(x)=f0+f1f0x1x0(xx0)f(x) = f_0 + \dfrac{ {f_1-f_0}} {x_1-x_0}\,(x-x_0).
Dies entspricht einer Konvexkombination der Endpunkte (x0,f0)(x_0, \,f_0) und (x1,f1)(x_1,\,f_1).
Detaillierte Erläuterungen unter Allgemeine lineare Interpolation.
 
 

Höhergradige Polynome

Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass man zu n+1n+1 paarweise verschiedenen Datenpunkten genau ein Interpolationspolynom nn-ten Grades finden kann. Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Man erhält das Interpolationspolynom z.B. mit Hilfe der Formel von Lagrange:
p(x)=i=0nfik=0,kinxxkxixkp(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\,f_i\prod\limits_{k=0,k\neq i}^n\dfrac{ {x-x_k} }{ {x_i-x_k}}
Weitere Verfahren zur Polynominterpolation siehe dort.
Linear_interpolation.png
Stückweise lineare Interpolation

Stückweise Interpolation

Da Polynome mit zunehmendem Grad immer instabiler werden (d.h. sie schwingen stark zwischen den Interpolationspunkten), werden in der Praxis Polynome mit Grad > 5 kaum eingesetzt. Stattdessen interpoliert man einen großen Datensatz stückweise. Im Fall der linearen Interpolation wäre das ein Polygonzug, bei Polynomen vom Grad 2 oder 3 spricht man üblicherweise von Spline-Interpolation. Bei abschnittsweise definierten Interpolanten ist die Frage der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an den Stützstellen von großer Bedeutung.
Spline_interpolation.png

Hermite-Interpolation

Sind zusätzlich zu den Stützstellen (fi,xi)(f_i,\,x_i) auch noch die kk-Ableitungen f(k)(xi)=fi(k)f^{(k)}(x_i) = f^{(k)}_i zu interpolieren, so spricht man von einem Hermite-Interpolationsproblem. Die Lösung dieses Problems lässt sich analog zum Lagrange-Verfahren ebenfalls in geschlossener Form angeben.

Trigonometrische Interpolation

Wählt man als Ansatzfunktion ein trigonometrisches Polynom, so erhält man eine trigonometrische Interpolation. Die Interpolationsformel
g(x)=(12)a0+k=1N1(akcoskx+bksinkx)+(12)ancosNxg(x) = \over{1}{ 2} a_0+\sum\limits_{k=1}^{N-1}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)+\over{1}{ 2}a_n\cos Nx, N=n/2N=n/2
entspricht einer Fourier-Entwicklung der unbekannten Interpolanten. Die Fourier-Koeffizienten aka_k und bkb_k berechnen sich zu
ak(2n)i=1nf(xi)coskxia_k\approx \over{2}{ n}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\cos kx_i und bk(2n)i=1nf(xi)sinkxib_k\approx \over{2}{ n}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\sin kx_i.
Dabei wird angenommen, dass die Stützstellen xix_i im Intervall [0;2π][0;\,2\pi] äquidistant verteilt sowie außerhalb dieses Intervalls periodisch sind. Die Koeffizienten können effizient mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation berechnet werden.

Logarithmische Interpolation

Vermutet bzw. weiß man, dass den Daten eine logarithmische Funktion zugrunde liegt, so empfiehlt sich dieses Verfahren. Dabei werden zwei bekannte Datenpunkte f0(x0)f_0(x_0) und f1(x1)f_1(x_1) durch eine logarithmische Kurve verbunden. Es gilt:
lnflnf0lnf1lnf0=xx0x1x0\dfrac{ \ln f- \ln f_0}{ \ln f_1- \ln f_0} = \dfrac{x-x_0}{x_1-x_0}
Oder anders formuliert:
f(x)=f0exp((xx0)(lnf1lnf0)x1x0)f(x) = f_0 \cdot \exp \left(\dfrac{(x-x_0)( \ln f_1- \ln f_0)}{x_1-x_0} \right)
Beispiel: χ2\chi^2-Test

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Stephen Hawking

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