Übersicht über Interpolationsverfahren

Die von Isaac Newton begründete lineare Interpolation ist am einfachsten und wird wohl in der Praxis am häufigsten benutzt. Hier werden zwei gegebene Datenpunkte $f_0$ und $f_1$ durch eine Strecke verbunden. Es gilt:

Dies entspricht einer Konvexkombination der Endpunkte $(x_0, \,f_0)$ und $(x_1,\,f_1)$.

Detaillierte Erläuterungen unter Allgemeine lineare Interpolation.

Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass man zu $n+1$ paarweise verschiedenen Datenpunkten genau ein Interpolationspolynom $n$-ten Grades finden kann. Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Man erhält das Interpolationspolynom z.B. mit Hilfe der Formel von Lagrange:

Weitere Verfahren zur Polynominterpolation siehe dort.

Da Polynome mit zunehmendem Grad immer instabiler werden (d.h. sie schwingen stark zwischen den Interpolationspunkten), werden in der Praxis Polynome mit Grad > 5 kaum eingesetzt. Stattdessen interpoliert man einen großen Datensatz stückweise. Im Fall der linearen Interpolation wäre das ein Polygonzug, bei Polynomen vom Grad 2 oder 3 spricht man üblicherweise von Spline-Interpolation. Bei abschnittsweise definierten Interpolanten ist die Frage der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an den Stützstellen von großer Bedeutung.

Sind zusätzlich zu den Stützstellen $(f_i,\,x_i)$ auch noch die $k$-Ableitungen $f^{(k)}(x_i) = f^{(k)}_i$ zu interpolieren, so spricht man von einem Hermite-Interpolationsproblem. Die Lösung dieses Problems lässt sich analog zum Lagrange-Verfahren ebenfalls in geschlossener Form angeben.

Wählt man als Ansatzfunktion ein trigonometrisches Polynom, so erhält man eine trigonometrische Interpolation. Die Interpolationsformel

entspricht einer Fourier-Entwicklung der unbekannten Interpolanten. Die Fourier-Koeffizienten $a_k$ und $b_k$ berechnen sich zu

Dabei wird angenommen, dass die Stützstellen $x_i$ im Intervall $[0;\,2\pi]$ äquidistant verteilt sowie außerhalb dieses Intervalls periodisch sind. Die Koeffizienten können effizient mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation berechnet werden.

Vermutet bzw. weiß man, dass den Daten eine logarithmische Funktion zugrunde liegt, so empfiehlt sich dieses Verfahren. Dabei werden zwei bekannte Datenpunkte $f_0(x_0)$ und $f_1(x_1)$ durch eine logarithmische Kurve verbunden. Es gilt:

Oder anders formuliert:

Beispiel: $\chi^2$-Test