Allgemeine lineare Interpolation

Es sei H(x) H(x) eine reelle oder komplexe stetig differenzierbare Funktion mit Nullstellenmenge {xk} \{ x_k \} mit k∈Ik\in I, wobei alle Nullstellen einfach sein müssen. Dabei kann I I eine endliche Menge, wie z.B. I={1,…,N} I= \{1,\dots,N\} , oder eine abzählbare Menge, I=N I=\mathbb{N} oder I=Z I= \mathbb{Z} sein. Damit sind die Interpolationskerne gegeben als
Lk(x):=H(x)H′(xk)(x−xk)=G(x,xk)G(xk,xk)L_k(x):=\dfrac{H(x)}{H'(x_k)(x-x_k)}=\dfrac{G(x,x_k)}{G(x_k,x_k)} bei x≠xk x \neq x_k
und stetig mit dem Wert 11 an der Stelle x=xk x=x_k fortgesetzt. Die Hilfsfunktion G(x,y) G(x,y) ist außerhalb der Diagonalen x=y x=y definiert als
G(x,y):=H(x)−H(y)x−yG(x,y):=\dfrac{H(x)-H(y)}{x-y}
und stetig fortgesetzt zu G(x,x):=H′(x)G(x,x):=H'(x).
Nun sieht man leicht, dass auf den Nullstellen Lk(xj)=δk,jL_k(x_j)=\delta_{k,j} gilt, wobei das Kronecker-Delta verwendet wurde.
Sind jetzt Werte fk f_k für jedes k∈I k \in I vorgegeben, so ist eine Interpolationsfunktion definiert durch
F(x):=∑k∈Ifk⋅Lk(x)=∑k∈IG(x,xk)G(xk,xk)fkF(x):=\sum\limits_{k\in I}f_k\cdot L_k(x)=\sum\limits_{k\in I}\dfrac{G(x,x_k)}{G(x_k,x_k)}f_k.
Im Falle einer abzählbaren Nullstellenmenge muss die Konvergenzbedingung
∑k∈I∣fkH′(xk)(1+∣xk∣)∣<∞\sum\limits_{k\in I}\left|\dfrac{f_k}{H'(x_k)(1+|x_k|)}\right|<\infty
erfüllt sein.
 
 

Beispiele

Beispiel 1

Mit vorgegebenen Stützstellen {x1,…,xN} \{x_1,\dots,x_N\} und einer reellen Funktion h h mit h(0)=0 h(0)=0 , h′(0)≠0 h'(0)\neq 0 kann die Funktion H(x):=h(x−x1)…h(x−xN) H(x):=h(x-x_1) \dots h(x-x_N) gebildet werden. Dann erhält man
Lk(x)=h(x−xk)h′(0)(x−xk)⋅∏j≠kh(x−xj)h(xk−xj)L_k(x)=\dfrac{h(x-x_k)}{h'(0)(x-x_k)}\cdot\prod\limits_{j\ne k}\dfrac{h(x-x_j)}{h(x_k-x_j)}.

Beispiel 2

Das aus h(x)=x h(x)=x resultierende Interpolationsverfahren ist die Lagrange-Interpolation. Andere Beispiele sind h(x)=x/(1+x2) h(x)=x/(1+x^2) für nach Unendlich gegen Null fallende Interpolationsfunktionen oder h(x)=sin⁡(x) h(x)=\sin(x) für eine beschränkte Interpolationsfunktion mit übersichtlicher Berechnungsformel.

Beispiel 3

Mit dem Kreisteilungspolynom H(x):=xN−1 H(x):=x^N-1 , d.h. den N N -ten Einheitswurzeln xk:=exp⁡(i2π k/N)x_k:=\exp(i2\pi\,k/N), k=1,…,Nk=1,\dots,N , als Stützstellen, ergibt sich die Diskrete Fourier-Transformation als Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten des Interpolationspolynoms. Es gilt LN(x)=1N(1+x+⋯+xN−1)L_N(x)=\dfrac1N(1+x+\dots+x^{N-1}) und allgemein Lk(x)=LN(xˉk x)L_k(x)=L_N(\bar x_k\,x), so dass
F(x)=∑n=0N−1xn⋅1N∑k=1NfkxˉknF(x)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x^n\cdot\dfrac1N\sum\limits_{k=1}^N f_k\bar x_k^n
ist.

Beispiel 4

Mit H(x):=sin⁡(πx) H(x):=\sin(\pi x) und den Nullstellen xk=k, k∈Z x_k=k ,\, k \in \mathbb{Z} , ergibt sich als Interpolationsfunktion die Kardinalreihe
F(x)=∑k∈Zfksin⁡(πx)(−1)+kπ(x−k)=∑k∈Zfksin⁡(π(x−k))π(x−k) F(x)=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_k\dfrac{\sin(\pi x)}{(-1)^+k\pi(x-k)} =\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_k\dfrac{\sin(\pi (x-k))}{\pi(x-k)} .
Diese spielt eine zentrale Rolle im Nyquist-Shannon-Abtasttheorem. Die Konvergenzbedingung lautet
∑k∈Z∣fk1+∣k∣∣<∞ \sum\limits_{k\in\mathbb Z}\left|\dfrac{f_k}{1+|k|}\right|<\infty .

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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