Hessesche Matrix und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema

Sei DRnD\subset\R^n offen und fC2(D)f\in C^2(D) zweimal stetig differenzierbar. Die Hessesche Matrix von ff im Punkt xDx\in D ist definiert als die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen:
(Hessf)(x):=(2fxjxi)i,j=1n(\mathrm{Hess }f)(x):=\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \right)_{i,j=1}^n
Wegen 2fxjxi=2fxixj\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}= \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (Satz von Schwarz) ist (Hessf)(x)(\mathrm{Hess }f)(x) symmetrisch. Nach dem Satz 16KH hat man f(x)=(Hessf)(x)f\, ''(x)=(\mathrm{Hess }f)(x). Mit f(x)h=gradf(x),hf'(x)h=\langle \grad f(x),h\rangle und f(x)h,h\langle f''(x)h,h\rangle =Hessf(x)h,h=i,j=1n2fxjxihihj =\langle \mathrm{Hess }f(x)h,h\rangle =\sum\limits_{i,j=1}^n \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}h_ih_j kann Satz 16KO wie folgt geschrieben werden:
 
 

Satz 16KQ

Sei DRnD\subset\R^n offen und fC2(D)f\in C^2(D) zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt für alle Umgebungen Uε(x)DU_\varepsilon (x)\in D und alle hRnh \in\R^n mit x+hUε(x)x+h\in U_\varepsilon(x):
f(x+h)=f(x)+f(x),h+12f(x)h,h+h2ρ(h)f(x+h)=f(x) +\langle f'(x),h\rangle +\dfrac{1}{2}\langle f''(x)h,h\rangle +||h||^2\rho(h),
wobei limh0ρ(h)=0\lim_{h\rightarrow 0} \rho(h)=0.

Satz 16KR (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema)

Sei DRnD\subset\R^n offen und fC2(D)f\in C^2(D) zweimal stetig differenzierbar mit (gradf)(x)=f(x)=0(\grad f)(x)=f\, '(x)=0. Dann gilt:
  1. Ist f(x)=(Hessf)(x)f\, ''(x)=(\mathrm{Hess }f)(x) positiv definit, so hat ff in xx ein isoliertes lokales Minimum.
  2. Ist f(x)f\, ''(x) negativ definit, so hat die Funktion ff in xx ein isoliertes lokales Maximum.
  3. Ist f(x)f\, ''(x) indefinit, so besitzt ff in xx kein lokales Extremum.

Beweis

(i) und (ii): Die Beweise zu (i) und (ii) können analog geführt werden. Wir beweisen exemplarisch (i). f(x+h)=f(x)+f(x),h+12f(x)h,h+h2ρ(h)f(x+h)=f(x)+\langle f'(x),h\rangle +\dfrac{1}{2}\langle f''(x)h,h\rangle +||h||^2\rho(h) =f(x)+12f(x)h,h+h2ρ(h) =f(x)+\dfrac{1}{2}\langle f''(x)h,h\rangle +||h||^2\rho(h) Da f(x)f\, ''(x) positiv definit, gibt es ein α>0\alpha>0, so dass f(x)h,hαh22\langle f''(x)h,h\rangle\geq \alpha ||h||_2^2. Man wähle δ>0:h:h2δ\delta>0:\forall h:||h||_2\leq \deltaρ(h)α4 \Rightarrow|\rho(h)| \leq \dfrac{\alpha}{4}. Damit erhält man für 0<h2δ0<||h||_2\leq \delta: f(x+h)=f(x)+12f(x)h,h+h22ρ(h) f(x+h)=f(x) +\dfrac{1}{2}\langle f''(x)h,h\rangle +||h||_2^2\rho(h)f(x)+12f(x)h,hh22ρ(h) \geq f(x)+ \dfrac{1}{2} \langle f''(x)h,h\rangle -||h||_2^2|\rho(h)|f(x)+α2h22α4h22 \geq f(x)+\dfrac{\alpha}{2} ||h||_2^2-\dfrac{\alpha}{4}||h||_2^2=f(x)+α4h22>f(x) =f(x)+\dfrac{\alpha}{4}||h||_2^2 >f(x). (iii) Zu zeigen ist, dass in jeder ε\varepsilon-Umgebung Uε(x)U_\varepsilon(x) um xx Werte y,yy', y'' existieren mit f(y)<f(x)<f(y)f(y'')<f(x)<f(y'). f(x)f''(x) ist indefinit: ξRn\{0}:f(x)ξ,ξ=:α>0\exists \xi\in\R^n\backslash\{0\}:\underbrace{\langle f''(x)\xi,\xi\rangle}_{ =:\alpha>0}. Für kleine t|t| gilt: f(x+tξ)=f(x)+12f(x)tξ,tξ+tξ22ρ(tξ)f(x+t\xi)=f(x)+\dfrac{1}{2}\langle f''(x)t\xi,t\xi\rangle+||t\xi||_2^2\rho(t\xi) und für hinreichend kleine t|t| gilt ρ(tξ)α41ξ22|\rho(t\xi)|\leq\dfrac{\alpha}{4}\dfrac{1}{||\xi||_2^2}. Also hat man f(x+tξ)=f(x)+t22f(x)ξ,ξ+t2ξ22ρ(tξ)f(x+t\xi)=f(x)+\dfrac{t^2}{2}\langle f''(x)\xi,\xi\rangle +t^2||\xi||_2^2 \rho(t\xi)=f(x)+α2t2+t2ξ22ρ(tξ) =f(x)+\dfrac{\alpha}{2}t^2+t^2||\xi||_2^2\rho(t\xi)f(x)+α2t2t2ξ22ρ(tξ) \geq f(x)+\dfrac{\alpha}{2}t^2-t^2||\xi||_2^2|\rho(t\xi)|f(x)+α2t2α4t2 \geq f(x)+ \dfrac{\alpha}{2}t^2-\dfrac{\alpha}{4}t^2=f(x)+α4t2>f(x) =f(x)+\dfrac{\alpha}{4}t^2 >f(x) für 0<tδ00<|t|\leq\delta_0 Ebenso zeigt man: Ist ηRn\eta\in\R^n ein Vektor mit f(x)η,η<0\langle f''(x)\eta,\eta\rangle <0, so gilt für genügend kleine t>0|t|>0: f(x+tη)<f(x)f(x+t\eta)<f(x) \qed

Anwendung auf den Spezialfall n=2

Unabhängige Variablen: x:=x1,y:=x2x:=x_1, y:=x_2 Sei DR2D\subset\R^2 offen, fC2(D)f\in C^2(D) zweimal stetig differenzierbar und gradf(ξ,η)=0\grad f(\xi,\eta)=0 , d.h. fx(ξ,η)=fy(ξ,η)=0\dfrac{\partial f}{\partial x}(\xi,\eta)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi,\eta)=0 (notwendige Bedingung nach Satz 16KP). f=Hessf=(2fx22fyx2fyx2fy2)f''=\mathrm{Hess }f=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} Für eine 2×22\cross 2-Matrix AA gilt: A=(a11a12a12a22){positiv definita11>0detA=a11a22a122>0negativ definita11<0detA=a11a22a122>0A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{12}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{cases} \text{positiv definit}\Leftrightarrow a_{11}>0 & \det A =a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0\\ \text{negativ definit}\Leftrightarrow a_{11}<0 & \det A=a_{11}a_{22}-a_{12}^2>0 \end{cases} Wir setzen Δ:=detf=2fx22fy2(2fyx)2\Delta:=\det f'' =\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} -\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\right)^2 , so hat
  1. ff ein isoliertes lokales Minimum in (ξ,η)(\xi,\eta) , wenn 2fx2>0\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}>0 und Δ>0\Delta>0,
  2. ff ein isoliertes lokales Maximum in (ξ,η)(\xi,\eta) , wenn 2fx2<0\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}<0 und Δ>0\Delta>0,
  3. ff kein lokales Extremum, wenn Δ<0\Delta<0.
Für Δ=0\Delta=0 lassen sich im Allgemeinen keine Aussagen treffen.

Beispiele

Für alle Beispiele sei f,g,h:R2Rf,g,h:\R^2\rightarrow\R.

Lokales Minimum

x2y2.png
f(x,y)=c+x2+y2f(x,y)=c+x^2+y^2 gradf(x,y)\grad f(x,y)=(fx,fy) =\left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=(2x,2y) = (2x,2y) gradf(x,y)=0\grad f(x,y)=0 für (0,0)(0,0). f(x,y)=(2fx22fyx2fyx2fy2)f''(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}=(2002) = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2 \end{pmatrix}, also f(0,0)=(2002) f''(0,0)=\begin{pmatrix} 2&0\\0&2 \end{pmatrix} ist positiv definit. Somit besitzt ff in (0,0)(0,0) ein isoliertes lokales Minimum (sogar globales Minimum).

Lokales Maximum

g(x,y)=cx2y2g(x,y)=c-x^2-y^2. gradg=(2x,2y) \grad g=(-2x,-2y) und (gradg)(0,0)=(0,0)(\grad g)(0,0) =(0,0); g(x,y)=(2002) g''(x,y)=\begin{pmatrix} -2&0\\0&-2 \end{pmatrix}; a11=2<0a_{11} = -2<0; detg(0,0)=4g \det g''(0,0)=4\Rightarrow g besitzt in (0,0)(0,0) ein isoliertes lokales Maximum.

Kein lokales Extremum

func2.png
h(x,y)=c+x2y2h(x,y)=c+x^2-y^2; gradh=(2x,2y) \grad h=(2x,-2y); (gradh)(0,0)=(0,0)(\grad h)(0,0)= (0,0); h(x,y)=(2002)h''(x,y)=\begin{pmatrix} 2&0\\0&-2 \end{pmatrix} deth(0,0)=4<0h\det h''(0,0)=-4<0\Rightarrow h hat in (0,0)(0,0) kein lokales Extremum.

====Semidefinite Matrizen====
Ist die Hessesche Matrix f(x,y)f\, ''(x,y) in einer Nullstelle des Gradienten semidefinit, so lassen sich keine allgemeinen Aussagen treffen.
Für die nachfolgenden Beispiele gilt fi(0,0)=(2000)f_i''(0,0)=\begin{pmatrix} 2&0\\0&0 \end{pmatrix} Sei h=(h1h2) h=\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}, dann ist fi(0,0)h,h \langle f_i''(0,0)h,h\rangle =(2h10),(h1h2) =\langle \begin{pmatrix}2h_1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} h_1\\h_2 \end{pmatrix}\rangle =2h12+0=2h120 =2h_1^2+0=2h_1^2\geq 0. Somit sind die fi(0,0)f_i''(0,0) semidefinit.
x2y4.png
f1(x,y)=x2+y4f_1(x,y )=x^2+y^4 gradf1=(2x,4y3) \grad f_1=(2x,4y^3) f1(x,y)=(20012y2) f_1''(x,y)=\begin{pmatrix} 2&0\\0&12y^2 \end{pmatrix} f1f_1 hat in (0,0)(0,0) ein isoliertes lokales Minimum.
x2.png
f2(x,y)=x2f_2(x,y) =x^2 gradf2=(2x,0) \grad f_2=(2x,0) f2(x,y)=(2000) f_2''(x,y)=\begin{pmatrix} 2\, &0\\0\, &0 \end{pmatrix} f2f_2 hat in (0,0)(0,0) lokales Minimum aber kein isoliertes.
x2y3.png
f3(x,y)=x2+y3f_3(x,y)= x^2+y^3 gradf3=(2x,3y2) \grad f_3=(2x,3y^2) f3(x,y)=(2006y) f_3''(x,y)=\begin{pmatrix} 2&0\\0&6y \end{pmatrix} f3f_3 hat in (0,0)(0,0) kein lokales Extremum.

Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik.

Euklid

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе