Extrema mit Nebenbedingungen

Seien $f:X\rightarrow\R$ mit $X\subset\R^n$ offen und $g:X\rightarrow\R^m$ mit $m<n$. Ferner sei $N:=\{x\in X: g(x)=0\}$ die Menge aller Nullstellen von $g$. $f$ besitzt in $\xi\in X$ ein lokales Maximum (lokales Minimum) unter der Nebenbedingung $g(x)=0$ $:\Leftrightarrow$ $\xi\in N$ und es existiert ein $\delta>0$ mit $U_\delta(\xi)\subset X$ und $\forall x\in U_\delta(\xi)\cap N$ gilt $f(x)\leq f(\xi)$ (bzw.$f(x)\geq f(\xi)$). Gesucht sind die also die lokalen Extrema von $f$ unter der angegebenen Nebenbedingung und die Werte, die $f$ in ihnen annimmt.

Wir setzen $x=\begin{pmatrix}y\\z \end{pmatrix}$ mit $y=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m \end{pmatrix}$ und $z=\begin{pmatrix}x_{m+1}\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}\in \R^{n-m}$. Dann ist $g(x)=g(y,z)$ und falls die $m$ Komponentengleichungen aus $g(y,z)=0$ nach $y$ auflösbar sind, es also eine Funktion $h$ mit $y=h(z)$ und $g(h(z),z)=0$ gibt, dann können wir das Problem der Extremwertbestimmung auf das Ermitteln der "freien" lokalen Extrema (d.h. lokale Extrema ohne Nebenbedingungen) der Funktion $\varphi(z)=f(h(z),z)$ zurückführen. Ist eine solche explizite Auflösung von $g(y,z)=0$ nach $y$ nicht möglich, dann verwenden wir die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren

Sei $X\subset\R^n$ eine offene Menge, $f:X\rightarrow\R$ und $, g:=\begin{pmatrix} g_1\\\vdots\\g_m \end{pmatrix}:X\rightarrow\R^m$ seien stetig differenzierbare Funktionen und $f$ besitzt in $\xi\in X$ ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung $g(x)=0$. Ferner existiere in $g'(\xi)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial g_1}{\partial x_1}(\xi) & \dots & \dfrac{\partial g_1}{\partial x_n}(\xi)\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial g_m}{\partial x_1}(\xi) & \dots & \dfrac{\partial g_m}{\partial x_n}(\xi) \end{pmatrix}$ eine $m$-reihige Unterdeterminante, die nicht verschwindet. Dann existieren $m$ reelle Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ (die Lagrange Multiplikatoren), so dass die Gleichung erfüllt ist.

ObdA.gelte für die Determinante der $m\cross m$-Matrix

Seien $x=\begin{pmatrix}y\\z \end{pmatrix}$ mit $y=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_m \end{pmatrix}$ und $z=\begin{pmatrix}x_{m+1}\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}\in \R^{n-m}$ sowie $\xi=\begin{pmatrix}\eta\\\zeta \end{pmatrix}$ mit $\eta=\begin{pmatrix}\xi_1\\\vdots\\\xi_m \end{pmatrix}$ und $\zeta=\begin{pmatrix}\xi_{m+1}\\\vdots\\\xi_n \end{pmatrix}$. Nun ist $f(x)=f(y,z)$ und $g(x)=g(y,z)$. Aus $f$ hat in $\xi$ ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung $g(x)=0$ folgt: $g(\xi)=g(\eta,\zeta)=0$ und wegen Gleichung (1) ist $\det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial g_1}{\partial x_1}(\eta,\zeta) & \dots & \dfrac{\partial g_1}{\partial x_m}(\eta,\zeta)\\ \vdots & & \vdots\\ \dfrac{\partial g_m}{\partial x_1}(\eta,\zeta) & \dots & \dfrac{\partial g_m}{\partial x_m}(\eta,\zeta) \end{pmatrix}\neq 0$. Nach dem Satz über implizite Funktionen (Satz 16KT) ist $g(y,z)=0$ nach $y$ auflösbar, d.h.

Ferner sei $\delta$ so klein, dass $\varphi(z):=f(h(z),z)$ differenzierbar ist. Es gilt: $f$ lokales Extremum in $\xi$ unter der Nebenbedingung $g(x)=0$ bedeutet, dass $\varphi'(\zeta)=0$. Also hat man Außerdem gilt wegen der Gleichung (2) und Satz 16KT, dass Einsetzen in die Gleichung (3) liefert: $\underbrace{-\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi) \left(\dfrac{\partial g}{\partial y}(\xi)\right)^{-1}}_{\lambda^T= (\lambda_1,\dots,\lambda_m)} \dfrac{\partial g}{\partial z}(\xi)+\dfrac{\partial f}{\partial z}(\xi) =0$. Somit ist $\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi)+\lambda^T \dfrac{\partial g}{\partial y}(\xi)=0$ und $\dfrac{\partial f}{\partial z} (\xi)+\lambda^T\dfrac{\partial g}{\partial z}(\xi)=0$. Beide Gleichungen liefern: $f'(\xi)+\lambda^T g'(\xi)=0$$\Leftrightarrow f'(\xi)+\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i g_i'(\xi)=0$. $\qed$