Der Feuerbachkreis

Die Mittelpunkte der Seiten ($D$, $E$ und $F$) eines Dreiecks, die Fußpunkte der Höhen des Dreiecks ($L$, $M$ und $N$) und die Mittelpunkte der drei Verbindungsstrecken des Höhenschnittpunkts mit den Eckpunkten des Dreiecks ($X$, $Y$ und $Z$) liegen auf einem Kreis, dem Feuerbachkreis oder Neun-Punkte-Kreis.

Der Radius des Feuerbachkreises ist halb so groß wie der Umkreisradius.

Wir verbinden die Punkte wie in Bild 1. Da das Dreieck $\Delta ALC$ rechtwinklig ist, ist nach dem Satz des Thales $E$ der Mittelpunkt des Thaleskreises. Nach dem Peripheriewinkelsatz gilt: $\angle ELA=\angle EAL$. Analog ergibt sich im Dreieck $\Delta ALB$ dann $\angle FLA=\angle FAL$. Damit: $\angle FLE=\angle FLA+\angle ELA$ $=\angle FAL+\angle EAL= \angle FAE$. Nach Satz A7RB ist $AFDE$ ein Parallelogramm, also gilt $\angle FLE= \angle FAE= \angle FDE$. Nach Satz A7RC liegen die Punkte $D$, $E$, $F$ und $L$ auf einem Kreis. Analog kann man erschließen, dass $M$ und $N$ auf ebene diesem Kreis liegen.

Wegen dieser Peripheriewinkelbeziehung liegt der Mittelpunkt des Kreises $U$ auf den Mittelsenkrechten der Strecken $\ovl{DL}$, $\ovl{EM}$ und $\ovl{FN}$ (vgl. Bild 2). Sind nun $P$ der Höhenschnittpunkt und $O$ der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, so halbiert $U$ die Strecke $\ovl{PO}$. (Parallelverschiebung von $\ovl{PO}$ bis $P$ und $L$ deckungsgleich sind und Anwenden des Strahlensatzes.)

Sei nun $X$ der Schnittpunkt der Geraden durch $D$ und $U$ mit der Höhe $\ovl{AL}$. Die beiden Dreiecke $\Delta OUD$ und $\Delta PUX$ sind kongruent. (Sie stimmen in den Seiten $\ovl{OU}$ und $\ovl{PU}$ überein und allen Winkeln, da diese Scheitelwinkel bzw. Wechselwinkel sind.) Damit ist $|\ovl{UD}|=|\ovl{UX}|$ und $X$ liegt auf dem Kreis durch $D$, $E$, $F$, $L$, $M$ und $N$. Nach Satz 5515G ist $|\ovl{AP}|=2|\ovl{OD}|$ und wegen der Kongruenz von $\Delta OUD$ und $\Delta PUX$ gilt somit $|\ovl{AP}|=2\cdot |\ovl{XP}|$. Ähnlich zeigt man, dass der Kreis durch die Punkte $Y$ und $Z$ geht.

$ODXA$ ist ein Parallelogramm ($\ovl{OD}$ und $\ovl{AX}$ sind parallel und gleichlang, $\ovl{OA}$ entsteht durch Parallelverschiebung von $\ovl{DX}$.) Es gilt: $|\ovl{OA}|=|\ovl{DX}|=2\cdot |\ovl{DU}|$. $\qed$