Ellipsoid

Ellipsoide.png
Ellipsoid mit (a,b,c)=(4,2,1)(a, b, c) = (4, 2, 1)
Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Definition

Die Gleichung eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten
(x2a2)+(y2b2)+(z2c2)=1 \over{x^2 }{ a^2}+\over{y^2 }{ b^2}+\over{z^2 }{ c^2}=1
mit positiven reellen Zahlen a, ba,\, b und cc, den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix Q=(qij)Q = (q_{ij}):
E={x=(x1…xn)∈Rn:xTQx=∑1≤i,j≤n qijxixj=1}  E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)\in R^n : x^T Q x = \sum\limits_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}\,
Durch Hauptachsentransformation kann man QQ auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.
Für das Volumen VV gilt: V=43π⋅a⋅b⋅cV = \dfrac{4}{3} \pi \cdot a\cdot b\cdot c wobei wie oben a, b, ca,\, b,\, c die Radien in der Breite, Höhe und Tiefe bezeichnen.
Dreidimensionale Ellipsoide erhält man zum Beispiel durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen, wobei man von Rotationsellipsoiden spricht. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Sind alle drei Achsen verschieden, spricht man von triaxialen Ellipsoiden. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.
Zur Berechnung der Oberfläche SS eines Rotationsellipsoids nehmen wir an, dass a≥b≥ca \ge b \ge c ist. Weiters seien k=cak = \dfrac{c}{a} das Verhältnis der Halbachsen cc und aa und ϵ=1−k2\epsilon = \sqrt{1 - k^2} die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der xzxz-Ebene y=0y = 0 ergibt.
Dann ist für
  • a=ba = b (Rotationsachse = zz-Achse): S=2πa2(1+k2atanh⁡(ϵ)ϵ)S = 2 \pi a^2 \braceNT{ 1 + k^2 \dfrac{\operatorname{atanh}{\braceNT{ \epsilon }}}{\epsilon} }
  • b=cb = c (Rotationsachse = xx-Achse): S=2πc2(1+1karcsin⁡(ϵ)ϵ)S = 2 \pi c^2 \braceNT{ 1 + \dfrac{1}{k} \dfrac{\arcsin \braceNT{ \epsilon } }{\epsilon} }
 
 

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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