Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung eine bestimmte Darstellung von rationalen Funktionen r(z)r(z) als Summe von Brüchen der Form
a(z−b)n\dfrac{a}{(z-b)^n}
mit Konstanten aa und bb.

Definition

Eine rationale Funktion rr mit nn verschiedenen Polstellen zjz_j der Ordnung mjm_j lässt sich in der Form
r(z)=p(z)+∑j=1n∑k=1mjaj,k(z−zj)kr(z) = p(z) + \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{k=1}^{m_j} \dfrac{a_{j,k}}{(z-z_j)^k}
schreiben, wobei der Grad des Polynoms pp der Differenz von Zähler- und Nennergrad von rr entspricht.
Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung.

Verwendung

Die Partialbruchzerlegung wird z.B. verwendet, um rationale Funktionen integrieren zu können. Sie wird ebenfalls bei der Lösung von Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation bzw. z-Transformation benötigt.

Berechnung

Diese Zerlegung kann folgendermaßen bestimmt werden:
  • Falls der Grad des Zählers größer gleich dem Nennergrad ist, muss eine Polynomdivision durchgeführt werden (man erhält pp). Ansonsten ist p=0p=0.
  • Abhängig von der Form des Nennerpolynoms wird ein geeigneter Ansatz für das Ergebnis aufgestellt (siehe unten).
  • Die Konstanten aj,ka_{j,k} ergeben sich beispielsweise durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.
Abhängig von der Form des Nennerpolynoms müssen verschiedene Ansätze verfolgt werden. Hierfür müssen sämtliche Nullstellen des Nennerpolynoms bekannt sein. Diese sind am einfachsten sichtbar, wenn das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht wird:
(x−x1)k1⋅(x−x2)k2⋅   ⋅(x−xn)kn(x-x_1)^{k_1}\cdot(x-x_2)^{k_2}\cdot \, \, \, \cdot(x-x_n)^{k_n}
Hierbei stellen dann k1k_1 etc. die Vielfachheit der jeweiligen Nullstellen und x1x_1 etc. die Nullstellen selber dar.
Nennerpolynom mit einfachen reellen Nullstellen x1,x2,   ,xnx_1, x_2, \, \, \, , x_n:
f(x)=a1x−x1+a2x−x2+…+anx−xnf(x) = {\dfrac {a_1} {x-x_1}} + {\dfrac{ a_2} { x-x_2}} + \ldots + {\dfrac {a_n} { x-x_n}}
Nennerpolynom mit ii-facher Nullstelle xkx_k:
f(x)=a1x−x1+a2x−x2+…f(x) = {\dfrac {a_1}{ x-x_1}} + {\dfrac {a_2} {x-x_2}} + \ldots +b1x−xk+…+bi(x−xk)i+ {\dfrac {b_1} {x-x_k}} + \ldots + {\dfrac {b_i}{ (x-x_k)^i}}
Nennerpolynom mit einfacher komplexer Nullstelle zkz_k:
(Die Nullstellen von x2+ax+bx^2+ax+b sind dann zkz_k und zk∗z_k*, somit wird jede komplexe Nullstelle mit ihrer konjugiert komplexen zu einem Term zusammengefasst)
f(x)=a1x−x1+a2x−x2+…f(x) ={\dfrac {a_1}{ x-x_1}} + {\dfrac {a_2} {x-x_2}}+\ldots +(b1x+c1)(x2+ax+b)+ {\dfrac{(b_1 x + c_1)}{(x^2+ax+b)}}
Nennerpolynom mit ii-facher komplexer Nullstelle zkz_k:
f(x)=a1x−x1+a2x−x2+…f(x) ={\dfrac {a_1}{ x-x_1}} + {\dfrac {a_2} {x-x_2}}+\ldots +(b1x+c1)(x2+ax+b)+(b2x+c2)(x2+ax+b)2+…+ {\dfrac{(b_1 x + c_1)}{(x^2+ax+b)}} + {\dfrac{(b_2 x + c_2)} {(x^2+ax+b)^2}} +\ldots +(bix+ci)(x2+ax+b)i+\dfrac {(b_i x + c_i)}{(x^2+ax+b)^i}

Koeffizientenvergleich

Um die Konstanten aka_k, bk b_k , ... zu ermitteln, wird der Ansatz mit der Funktion gleichgesetzt und so erweitert, dass bei f(x) f(x) der Nenner entfällt. Dann werden die (noch unbekannten) Konstanten so sortiert, dass eine bis mehrere Bedingungen entstehen, woraus man sie berechnen kann. Diese Methode wird Koeffizientenvergleich genannt.
 
 

Ich stimme mit der Mathematik nicht überein. Ich meine, daß die Summe von Nullen eine gefährliche Zahl ist.

Stanislaw Jerzy Lec

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