Beispiele zur Partialbruchzerlegung

Die Art der Partialbruchzerlegung wird im wesentlichen durch die Art der Nullstellen des Polynoms im Nenner bestimmt.

Einfache Nullstelle des Nenners

f(x)=x(x2−1) f(x) = \dfrac {x} {(x^2-1)} =x(x+1)(x−1)= \dfrac {x} {(x + 1)(x - 1)} .
Der Nennen hat die zwei einfache Nullstellen x0=1x_0=1 und x1=−1x_1=-1. Wir machen den Ansatz
A(x+1)+B(x−1)=x(x2−1) \dfrac {A} {(x + 1)} + \dfrac {B}{(x- 1)} = \dfrac{x}{(x^2-1)} ,
verwendet, wobei A,B∈R A , B\in\R für die beiden zu ermittelnden reellen Konstanten stehen. Die Gleichung wird mit dem Nennerpolynom (x2−1) (x^2 -1) multipliziert:
A(x−1)+B(x+1)=xA(x-1)+B(x+1)=x bzw. Ax−A+Bx+B=x Ax- A + Bx + B = x .
Wir fassen die Terme bezüglich xx zusammen:
(A+B−1)x+(−A+B)=0(A+B-1)x +(-A+B)=0
Und ein Koeffizientenvergleich führt zu den beiden Gleichungen
B−A=0 B-A = 0 und A+B=1 A+B = 1 .
Dabei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem, welches wir durch Einsetzen von B=1−A B=1-A in die erste Gleichung lösen:
1−A−A=01-A-A=0, also A=12A=\dfrac 1 2
und damit ergibt sich A=B=12 A = B= \dfrac{1}{2} .
Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also:
xx2−1=12⋅1x+1+12⋅1x−1 \dfrac {x}{x^2-1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x-1} .
 
 

Doppelte Nullstelle im Nenner

Wir suchen die Partialbruchzerlegung für 2 x−1(x−1)2 \dfrac {2\, x-1}{(x-1)^2}. Der Nenner hat hier eine doppelte Nullstelle x0=1x_0=1. Nun führt der folgende Ansatz zum Ziel:
2 x−1(x−1)2=Ax−1+B(x−1)2\dfrac {2\, x-1}{(x-1)^2} = \dfrac {A}{x-1} + \dfrac {B}{(x-1)^2} .
Nach Multiplikation der Gleichung mit (x−1)2(x-1)^2 ergibt sich:
2 x−1=A(x−1)+B2\, x-1 = A (x-1) + B und 2 x−1=Ax−A+B2\, x-1 = Ax-A + B.
Der Koeffizientenvergleich führt zum folgenden linearen Gleichungssystem:
A=2 A = 2 und −A+B=−1 -A + B = -1
mit der Lösung A=2 A=2 und B=1 B=1 .
Damit haben wird die gesuchte Partialbruchzerlegung:
2x−1(x−1)2=2x−1+1(x−1)2\dfrac {2x-1}{(x-1)^2} = \dfrac {2}{x-1} + \dfrac {1}{(x-1)^2}

Komplexe Nullstellen im Nenner

Gesucht wird die Partialbruchzerlegung von (1+x)2x⋅(1+x2)\dfrac{(1+x)^2}{x\cdot(1+x^2)}.
Die Nullstellen lauten x1=0x_1=0, x2=i⁡x_2=\i und x3=−i⁡x_3=-\i.
Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
(1+x)2x⋅(1+x2) =Ax+Bx+Cx2+1\dfrac{(1+x)^2}{x\cdot(1+x^2)}\, = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx+C}{x^2+1}
Wir multiplizieren die Gleichung mit dem Nenner der linken Seite und erhalten:
x2+2x+1=Ax2+A+Bx2+Cxx^2+2x+1 = Ax^2+A+Bx^2+Cx
Durch Koeffizientenvergleich sehen wir sofort, dass C=2C=2 und A=1A=1 sowie A+B=1A+B=1, also B=0B=0.
Damit erhalten wir die Partialbruchzerlegung
(1+x)2x⋅(1+x2) =1x+21+x2\dfrac{(1+x)^2}{x\cdot(1+x^2)}\, =\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{1+x^2}.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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