Lokalisierung von Distributionen

Einschränkung auf eine Teilmenge

Seien Y⊂Ω⊂RnY \subset \Omega \subset \R^n offene Teilmengen und sei T∈D′(Ω)T \in \mathcal{D}'(\Omega) eine Distribution. Die Einschränkung T∣YT|_Y von TT auf die Teilmenge YY ist definiert durch
T∣Y(φ) ⁣:=T(φ)T|_Y(\phi) \colon= T(\phi)
für alle φ∈D(Y) \phi \in \mathcal{D}(Y)\,

Träger

Sei T∈D′(Ω)T \in \mathcal{D}'(\Omega) eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt x0∈Ωx_0 \in \Omega zum Träger von TT gehört und, schreibt x0∈supp(T)x_0 \in \mathrm{supp}(T), wenn für jede offene Umgebung U⊂ΩU \subset \Omega von x0x_0 eine Funktion φ∈D(U)\phi \in \mathcal{D}(U) existiert mit   T(φ)≠0\; T(\phi) \neq 0.
Falls TT eine reguläre Distribution T=TfT=T_f mit stetigem ff ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion ff).

Kompakter Träger

Eine Distribution T∈D′(Ω)T \in \mathcal{D}'(\Omega) hat einen kompakten Träger, wenn supp(T)\mathrm{supp}(T) ein kompakter Raum ist. Die Menge der Distributionen mit kompaktem Träger wird mit E′\mathcal{E}' bezeichnet. Sie ist ein Untervektorraum von D′\mathcal{D}' und der topologische Dualraum zu E\mathcal{E}, dem Raum der glatten Funktionen C∞C^\infty. Auf diesem Raum wird durch die abzählbare Familie von Halbnormen
φ↦∑∣α∣≤msup⁡x∈K∣∂α∂xαφ(x)∣ \phi \mapsto \sum\limits_{|\alpha|\leq m} \sup_{x\in K} \left| \dfrac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} \phi(x) \right|
eine lokalkonvexe Topologie erzeugt.

Singulärer Träger

Sei T∈D′(Ω)T \in \mathcal{D}'(\Omega) eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt x0∈Ωx_0 \in \Omega nicht zum singulären Träger sing supp(T)\mathrm{sing\,supp}(T) gehört, wenn es eine offene Umgebung U⊂ΩU \subset \Omega von x0x_0 und eine Funktion f∈C∞(U)f \in C^\infty(U) gibt mit
 T(φ)=∫Uf(x)φ(x)dx\,T(\phi) = \int\limits_U f(x) \phi(x) \mathrm{d} x
für alle φ∈Cc∞(U)\phi \in C_c^\infty(U).
Anders gesagt: x0∈sing supp(T)x_0 \in \mathrm{sing\,supp}(T) genau dann, wenn es keine offene Umgebung UU von x0x_0 gibt, sodass die Einschränkung von TT auf UU gleich einer glatten Funktion ist. Insbesondere ist der singuläre Träger einer singulären Distribution nicht leer.
 
 

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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