Distributionen auf Mannigfaltigkeiten
Rücktransport
Man kann
Distributionen mit Hilfe von Diffeomorphismen auf reellen
Teilmengen hin- und zurücktransportieren. Seien
Ω1,Ω2⊂Rn zwei reelle
Teilmengen und
ψ:Ω1→Ω2 ein Diffeomorphismus, also eine
stetig differenzierbare, bijektive
Funktion, deren
Umkehrabbildung ebenfalls
stetig differenzierbar ist. Für
u∈C(Ω2) gilt
u∘ψ∈C(Ω1) und für alle Testfunktionen
φ∈D(Ω1) gilt aufgrund des Transformationssatzes die Gleichung
- Ω1∫u(ψ(x1))φ(x1)dx1=Ω2∫u(x2)φ(ψ−1(x2))∣∣∣∣det(∂x2∂ψ−1(x2))∣∣∣∣dx2
Diese Identität motiviert folgende Definition für die Verkettung einer
Distribution mit einem Diffeomorphismus. Sei
T∈D′(Ω2), dann ist
T∘ψ∈D′(Ω1) für alle
φ∈D′(Ω2) definiert durch
- (T∘ψ)(φ):=T((φ∘ψ−1)∣∣∣∣det(∂x∂ψ−1)∣∣∣∣)
Meistens notiert man
T∘ψ als
ψ∗T und
ψ∗ heißt der Rücktransport der
Distribution T
Definition
Sei
X eine glatte Mannigfaltigkeit und sei
(ψi:Ωi⊂X→Ω~i⊂Rn)i∈I ein System von Karten und sei
Ti∈D′(Ωi~), so dass für alle
φ∈D(Ω~i∩Ω~j)
- Tj(φ):=(ψi∘ψj−1)∗Ti(φ)
in
ψi(Ωj∩Ωi) gilt. Man nennt das System
T:=(Ti)i∈I eine
Distribution auf
X. Diese
Distribution T∈D′(X) ist eindeutig bestimmt und von der Wahl der Karte unabhängig.
Es gibt noch andere Möglichkeiten,
Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Die Definition im Zusammenhang mit Dichtebündeln hat den Vorteil, dass dort kein System lokaler Karten gewählt werden muss.
Reguläre Distributionen auf Mannigfaltigkeiten
- Ti(φ):=Ωi~∫(u∘ψi−1)(xi)φ(xi)dxi
erhält man ein System
(Ti)i∈I, das eine
Distribution auf
M bildet.
An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.
Godfrey Harold Hardy
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