Distributionen auf Mannigfaltigkeiten

Rücktransport

Man kann Distributionen mit Hilfe von Diffeomorphismen auf reellen Teilmengen hin- und zurücktransportieren. Seien Ω1,Ω2Rn\Omega_1, \, \Omega_2 \subset \R^n zwei reelle Teilmengen und ψ ⁣:Ω1Ω2\psi \colon \Omega_1 \to \Omega_2 ein Diffeomorphismus, also eine stetig differenzierbare, bijektive Funktion, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist. Für uC(Ω2)u \in C(\Omega_2) gilt uψC(Ω1)u \circ \psi \in C(\Omega_1) und für alle Testfunktionen φD(Ω1)\phi \in \mathcal{D}(\Omega_1) gilt aufgrund des Transformationssatzes die Gleichung
Ω1u(ψ(x1))φ(x1)dx1=Ω2u(x2)φ(ψ1(x2))det(x2ψ1(x2))dx2\int\limits_{\Omega_1} u (\psi(x_1)) \phi(x_1) \mathrm{d} x_1 = \int\limits_{\Omega_2} u(x_2) \phi(\psi^{-1}(x_2)) \left|\det\left(\dfrac{\partial}{\partial x_2} \psi^{-1}(x_2)\right)\right| \mathrm{d} x_2\,
Diese Identität motiviert folgende Definition für die Verkettung einer Distribution mit einem Diffeomorphismus. Sei TD(Ω2)T \in \mathcal{D}'(\Omega_2), dann ist TψD(Ω1)T \circ \psi \in \mathcal{D}'(\Omega_1) für alle φD(Ω2)\phi \in \mathcal{D}'(\Omega_2) definiert durch
(Tψ)(φ) ⁣:=T((φψ1)det(xψ1))(T \circ \psi)(\phi) \colon= T\left(\left(\phi \circ \psi^{-1}\right)\left|\det\left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi^{-1}\right)\right|\right)\,
Meistens notiert man TψT \circ \psi als ψT\psi^*\, T und ψ\psi^* heißt der Rücktransport der Distribution TT\,

Definition

Sei XX eine glatte Mannigfaltigkeit und sei (ψi ⁣:ΩiXΩ~iRn)iI(\psi_i \colon \Omega_i \subset X \to \tilde{\Omega}_i \subset \R^n)_{i \in I} ein System von Karten und sei TiD(Ωi~)T_i \in \mathcal{D}'(\tilde{\Omega_i}), so dass für alle φD(Ω~iΩ~j)\phi \in \mathcal{D}(\tilde{\Omega}_i \cap \tilde{\Omega}_j)
Tj(φ) ⁣:=(ψiψj1)Ti(φ)T_{j}(\phi) \colon= (\psi_i \circ \psi_{j}^{-1})^*\, T_i(\phi)
in ψi(ΩjΩi)\psi_i(\Omega_j \cap \Omega_i) gilt. Man nennt das System T ⁣:=(Ti)iIT \colon = (T_i)_{i \in I} eine Distribution auf XX. Diese Distribution TD(X)T \in \mathcal{D}'(X) ist eindeutig bestimmt und von der Wahl der Karte unabhängig.
Es gibt noch andere Möglichkeiten, Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Die Definition im Zusammenhang mit Dichtebündeln hat den Vorteil, dass dort kein System lokaler Karten gewählt werden muss.

Reguläre Distributionen auf Mannigfaltigkeiten

Bei dieser Definition kann man wieder jeder stetigen Funktion mittels der Integraldarstellung eine Distribution zuordnen. Sei also uC(M)u \in C(M) eine stetige Funktion auf der Mannigfaltigkeit, dann ist uψi1u \circ \psi_i^{-1} eine stetige Funktion auf Ωi~Rn\tilde{\Omega_i} \subset \R^n. Mittels der Integraldarstellung für reguläre Distributionen
Ti(φ) ⁣:=Ωi~(uψi1)(xi)φ(xi)dxiT_i(\phi) \colon = \int\limits_{\tilde{\Omega_i}} (u \circ \psi_i^{-1})(x_i) \phi(x_i) \mathrm{d} x_i
erhält man ein System (Ti)iI,(T_i)_{i \in I}, das eine Distribution auf MM bildet.
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Distribution (Mathematik) aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе