Distributionen auf Mannigfaltigkeiten

Rücktransport

Man kann Distributionen mit Hilfe von Diffeomorphismen auf reellen Teilmengen hin- und zurücktransportieren. Seien Ω1, Ω2⊂Rn\Omega_1, \, \Omega_2 \subset \R^n zwei reelle Teilmengen und ψ ⁣:Ω1→Ω2\psi \colon \Omega_1 \to \Omega_2 ein Diffeomorphismus, also eine stetig differenzierbare, bijektive Funktion, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist. Für u∈C(Ω2)u \in C(\Omega_2) gilt u∘ψ∈C(Ω1)u \circ \psi \in C(\Omega_1) und für alle Testfunktionen φ∈D(Ω1)\phi \in \mathcal{D}(\Omega_1) gilt aufgrund des Transformationssatzes die Gleichung
∫Ω1u(ψ(x1))φ(x1)dx1=∫Ω2u(x2)φ(ψ−1(x2))∣det⁡(∂∂x2ψ−1(x2))∣dx2 \int\limits_{\Omega_1} u (\psi(x_1)) \phi(x_1) \mathrm{d} x_1 = \int\limits_{\Omega_2} u(x_2) \phi(\psi^{-1}(x_2)) \left|\det\left(\dfrac{\partial}{\partial x_2} \psi^{-1}(x_2)\right)\right| \mathrm{d} x_2\,
Diese Identität motiviert folgende Definition für die Verkettung einer Distribution mit einem Diffeomorphismus. Sei T∈D′(Ω2)T \in \mathcal{D}'(\Omega_2), dann ist T∘ψ∈D′(Ω1)T \circ \psi \in \mathcal{D}'(\Omega_1) für alle φ∈D′(Ω2)\phi \in \mathcal{D}'(\Omega_2) definiert durch
(T∘ψ)(φ) ⁣:=T((φ∘ψ−1)∣det⁡(∂∂xψ−1)∣) (T \circ \psi)(\phi) \colon= T\left(\left(\phi \circ \psi^{-1}\right)\left|\det\left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi^{-1}\right)\right|\right)\,
Meistens notiert man T∘ψT \circ \psi als ψ∗ T\psi^*\, T und ψ∗\psi^* heißt der Rücktransport der Distribution T T\,

Definition

Sei XX eine glatte Mannigfaltigkeit und sei (ψi ⁣:Ωi⊂X→Ω~i⊂Rn)i∈I(\psi_i \colon \Omega_i \subset X \to \tilde{\Omega}_i \subset \R^n)_{i \in I} ein System von Karten und sei Ti∈D′(Ωi~)T_i \in \mathcal{D}'(\tilde{\Omega_i}), so dass für alle φ∈D(Ω~i∩Ω~j)\phi \in \mathcal{D}(\tilde{\Omega}_i \cap \tilde{\Omega}_j)
Tj(φ) ⁣:=(ψi∘ψj−1)∗ Ti(φ)T_{j}(\phi) \colon= (\psi_i \circ \psi_{j}^{-1})^*\, T_i(\phi)
in ψi(Ωj∩Ωi)\psi_i(\Omega_j \cap \Omega_i) gilt. Man nennt das System T ⁣:=(Ti)i∈IT \colon = (T_i)_{i \in I} eine Distribution auf XX. Diese Distribution T∈D′(X)T \in \mathcal{D}'(X) ist eindeutig bestimmt und von der Wahl der Karte unabhängig.
Es gibt noch andere Möglichkeiten, Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Die Definition im Zusammenhang mit Dichtebündeln hat den Vorteil, dass dort kein System lokaler Karten gewählt werden muss.

Reguläre Distributionen auf Mannigfaltigkeiten

Bei dieser Definition kann man wieder jeder stetigen Funktion mittels der Integraldarstellung eine Distribution zuordnen. Sei also u∈C(M)u \in C(M) eine stetige Funktion auf der Mannigfaltigkeit, dann ist u∘ψi−1u \circ \psi_i^{-1} eine stetige Funktion auf Ωi~⊂Rn\tilde{\Omega_i} \subset \R^n. Mittels der Integraldarstellung für reguläre Distributionen
Ti(φ) ⁣:=∫Ωi~(u∘ψi−1)(xi)φ(xi)dxiT_i(\phi) \colon = \int\limits_{\tilde{\Omega_i}} (u \circ \psi_i^{-1})(x_i) \phi(x_i) \mathrm{d} x_i
erhält man ein System (Ti)i∈I,(T_i)_{i \in I}, das eine Distribution auf MM bildet.
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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