Konvexe Hülle

Die konvexe Hülle einer Teilmenge MM eines reellen oder komplexen Vektorraums VV, ist die kleinste konvexe Menge, die MM enthält.
Bezeichnung: conv⁡M\conv M

Satz C84C (Durchschnittssatz für konvexe Menge)

Sei MiM_i eine Mengenfamilie konvexer Mengen über die Indexmenge II, dann ist ihr Durchschnitt
D:=⋂i∈IMiD:=\bigcap\limits_{i\in I} M_i
konvex. Sei M⊆VM\subseteq V eine beliebige Menge. {Mi}i∈I\{M_i\}_{i\in I} das System aller konvexen Mengen, die MM enthalten. Dann gilt
conv⁡M=⋂i∈IMi\conv M=\bigcap\limits_{i\in I} M_i,
der Durchschnitt ist also die kleinste konvexe Menge, die MM enthält.
 
 

Beweis

Seien x,y∈⋂i∈IMix,y\in \bigcap\limits_{i\in I} M_i, also x,y∈Mix,y\in M_i für alle i∈I{i\in I} . Da die MiM_i konvex sind, auch xy‾∈Mi\ovl{xy}\in M_i für alle i∈I{i\in I} , woraus folgt: xy‾∈⋂i∈IMi\ovl{xy}\in \bigcap\limits_{i\in I} M_i, womit gezeigt ist, dass der Durchschnitt konvex ist.
Sei nun DD eine konvexe Menge mit M⊆D⊂⋂i∈IMiM\subseteq D\subset \bigcap\limits_{i\in I} M_i, also eine kleinere konvex Menge, die MM enthält. Dann muss es aber ein k∈Ik\in I geben, mit D=MkD=M_k, für dieses müsste dann D=Mk⊂MkD=M_k\subset M_k gelten, und da eine Menge niemals echte Teilmenge von sich selbst sein kann erhalten wir einen Widerspruch. □\qed

Satz C84D (Eigenschaften der konvexen Hülle)

Seien A,B⊆VA,B\subseteq V Teilmengen eines reellen oder komplexen Vektorraums, dann gilt:
  1. A⊆conv⁡AA\subseteq \conv A (Extensivität)
  2. A⊆B   ⟹   conv⁡A⊆conv⁡BA\subseteq B \,\implies\, \conv A\subseteq \conv B (Monotonie)
  3. conv⁡(conv⁡A)=conv⁡A\conv (\conv A)=\conv A (Idempotenz)
Damit ist die konvexe Hülle ein Hüllenoperator.

Beweis

i) gilt, da nach Satz C84C die konvexe Hülle als Durchschnitt konvexer Mengen, die AA enthalten dargestellt werden kann. ii) Seien AiA_i, BjB_j die konvexen Mengen die AA bzw. BB enthalten. Wegen A⊂B⊂BjA\subset B\subset B_j für alle j∈Jj\in J, gibt es zu jedem j∈Jj\in J ein i∈Ii\in I mit Ai=BjA_i=B_j, also x∈conv⁡Ax\in \conv A   ⟺  x∈⋂i∈IAi\iff x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i   ⟺  ∀i∈Ix∈Ai\iff \forall i\in I x\in A_i   ⟹  ∀j∈Jx∈Bi\implies \forall j\in J x\in B_i   ⟹  x∈conv⁡B\implies x\in\conv B. iii) aus i) und ii) folgt conv⁡A⊆conv⁡(conv⁡A)\conv A\subseteq \conv (\conv A). Seien AiA_i die konvexen Mengen, die AA enthalten. Es gilt A⊆AiA\subseteq A_i, also mit ii) conv⁡A⊆conv⁡Ai=Ai\conv A\subseteq \conv A_i=A_i. Also conv⁡(conv⁡A)⊆conv⁡(conv⁡Ai)\conv (\conv A)\subseteq \conv (\conv A_i) für alle ii und damit conv⁡(conv⁡A)⊆⋂i∈Iconv⁡Ai\conv (\conv A)\subseteq\bigcap\limits_{i\in I} \conv A_i =⋂i∈IAi=conv⁡A=\bigcap\limits_{i\in I} A_i=\conv A. □\qed

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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