Ebene Kurven

Eine ebene Kurve $c$ ist eine Abbildung eines Intervalls $I\subseteq\domR$ in die euklidische Ebene $\domRZwei$.

Bei dieser Darstellung spricht man von der Parameterdarstellung.

Man schreibt die Kurvengleichungen meist in der Form $x=x(t)$ und $y=y(t)$. Dabei ist $t$ der Parameter. Jedem Wert $t\in I$ wird dabei ein Punkt $(x(t), y(t))$ der Ebene zugeordnet. Im allgemeinen setzt man voraus, dass die Abbildung $c$ wenigstens stetig differenzierbar ist, damit die Kurve "glatt" wird.

Jeder Graph einer Funktion $y=f(x)$ ist eine ebene Kurve. Dabei können wir die Parametrisierung $(x,f(x))$ verwenden.

In Formel 15VT hatten wir mit $x=a\cdot \cos t$ und $y=b\cdot \sin t$ eine Parameterdarstellung für die Ellipse angegeben.

Ist $r=r(\phi)$ eine in Funktion in Polarkoordinaten, so erhalten wir mit $x=r(\phi)\cdot\cos \phi$ und $y=r(\phi)\cdot\sin \phi$ (Formel 15VQ) eine Parameterdarstellung. Dabei ist der Winkel $\phi$ der Parameter.

Im letzten Beispiel hatte der Parameter die Bedeutung eines Winkels. Bei physikalischen Anwendungen wird der Parameter häufig als Zeit angesehen. Die Kurve ist dann die Menge der Punkte, die in der Zeitspanne durchlaufen wird.

Die Parameterdarstellung von Kurven ist in der Regel nicht eindeutig. So sind sowohl $(\cos t, \sin t)$ als auch $(\sin t, \cos t)$ Parameterdarstellungen des Kreises. Der Wechsel der Parameterdarstellung heißt Umparametrisierung.