Krümmung einer Kurve

Unter der Krümmung einer Kurve versteht man die Richtungsänderung pro durchlaufene Länge eines genügend kurzen Kurvenstücks.
Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null, weil sich ihre Richtung nicht ändert. Ein Kreis mit dem Radius rr hat überall gleiche Krümmung (nämlich 1/r1/r), denn seine Richtung ändert sich überall gleich stark. Bei allen anderen Kurven wechselt die Krümmung von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt.
Die Krümmung einer Kurve in einem Punkt PP gibt also an, wie stark die Kurve in der unmittelbaren Umgebung des Punktes PP von einer Geraden abweicht.
 
 

Definition

r(s)\vec{r}(s) sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge ss. Die Krümmung κ {\kappa\,} der Kurve ist dann definiert als
κ=∣d2rds2∣  \kappa = \left|\dfrac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}s^2}\right| \,

Eigenschaften

Die Krümmung ist eine bewegungsinvariante Größe, die den lokalen Verlauf einer Kurve beschreibt. Beide Größen kommen als Koeffizienten in den frenetschen Formeln vor.
Den Kehrwert der Krümmung nennt man Krümmungsradius; dies ist der Radius des Kreises (Krümmungskreis), der in einer Umgebung des Berührpunkts die beste Näherung darstellt.
  • Ist die Krümmung (also der Krümmungsradius gemessen am orientierten Ortsvektor) positiv, ist die Kurve in diesem Punkt positiv gekrümmt
  • Ist die Krümmung negativ, ist die Kurve in diesem Punkt negativ gekrümmt
Diese Aussage über das Verhalten in einem Punkt ist lokal - damit eine Kurve global also abschnittweise konvex oder konkav ist, sind andere Bedingungen notwendig.
Im Sonderfall einer ebenen Kurve (ihre Windung beträgt null) ist die Krümmung gleichbedeutend mit:
κ=∣dφds∣ \kappa = \left|\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right| ,
wobei φ\varphi der Neigungswinkel der Kurventangente ist und dss ein differentielles Wegstück.

Berechnung der Krümmung für ebene Kurven

Die oben gegebene allgemeine Definition ist für die praktische Berechnung der Krümmung oft unhandlich. Im Spezialfall einer ebenen Kurve können folgende Formeln verwendet werden. Bei ebenen Kurven kann außerdem die Krümmung mit einem Vorzeichen definiert werden. Eine Linkskurve hat eine positive Krümmung, eine Rechtskurve negative.

Parameterdarstellung

Die Kurve ist in [!Parameterdarstellung=ebene Kurve] gegeben, also durch zwei Funktionen x(t)x(t) und y(t)y(t). Dann ist die Krümmung im Punkt (x(t),y(t))(x(t),y(t)) gleich
κ=x˙(t)y¨(t)−x¨(t)y˙(t)(x˙(t)2+y˙(t)2)3/2\kappa = \dfrac{\dot x(t) \ddot y(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{\big(\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2\big)^{3/2}}.
(Die Punkte bezeichnen dabei Ableitungen nach tt.)

Explizite Darstellung

Die Kurve ist der Graph einer Funktion ff.
Die Krümmung im Punkt (x,f(x))\left(x,f(x)\right) ergibt sich aus
κ=f′′(x)(1+f′(x)2)3/2\kappa = \dfrac{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}.

Polarkoordinaten

Die Kurve ist in Polarkoordinaten gegeben, also durch eine Gleichung r=f(φ)r = f(\varphi).
In diesem Fall erhält man für die Krümmung im Punkt (rcos⁡φ,rsin⁡φ)(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
κ=(f(φ))2+2(f′(φ))2−f(φ)f′′(φ)[(f(φ))2+(f′(φ))2]3/2\kappa = \dfrac{(f(\varphi))^2 + 2 (f'(\varphi))^2 - f(\varphi) f''(\varphi)} {\left[(f(\varphi))^2 + (f'(\varphi))^2\right]^{3/2}}.

Berechnung der Krümmung für Raumkurven

Die Kurve im dreidimensionalen Raum (R3)(\mathbb{R}^3) sei durch eine Funktion des Parameters tt gegeben.
r=r(t)\vec{r} = \vec{r}(t)
Die Krümmung lässt sich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnen:
κ=∥r ′(t)×r ′′(t)∥∥r ′(t)∥3\kappa = \dfrac{\|\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)\|}{\|\vec{r}\,'(t)\|^3}

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Stephen Hawking

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