Bogenlänge einer ebenen Kurve

Sei

c(t)=(x(t),y(t))

eine Kurve, dann kann man in Anlehnung an Formel 15W1 die Bogenlänge

l

der Kurve zwischen den Parametern

t_0

und

t_1

mit der folgenden Formel berechnen:

l=\int\limits_{t_0}^{t_1}\sqrt{ {\dot x}^2+ {\dot y}^2}\d t = \int\limits_{t_0}^{t_1} {||\dot c(t)||}\d t

In Beispiel 15WI hatten wir mittels Formel 15W1 den Umfang des Kreises bestimmt. Für einen Kreis in Parameterform

c(t)=(r_0\cos t, r_0\sin t)

gestaltet sich diese Rechnung wesentlich einfacher:

Es ist

\dot c(t)=(-r_0\sin t, r_0\cos t)

u=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{r_0^2\sin^2t +r_0^2\cos^2t}

=r_0\int\limits_{0}^{2\pi} \d t=2\pi r_0

Um die Bogenlänge in Polarkoordinaten zu berechnen, gehen wir von den Beziehungen

x=r\cdot \cos\phi

und

y=r\cdot \sin\phi

aus und erhalten

\dot x=\dot r\cos\phi-r\sin\phi

und

\dot y= \dot r\sin\phi+r\cos\phi

Also:

{\dot x}^2={\dot r}^2\cos^2\phi-2\dot r r\sin\phi\cos\phi + r^2\sin^2\phi

und

{\dot y}^2={\dot r}^2\sin^2\phi+2\dot r r\sin\phi\cos\phi + r^2\cos^2\phi

Setzen wir dies in obige Formel ein, ergibt sich

l=\int\limits_{\phi_0}^{\phi_1}\sqrt { {\dot x}^2+ {\dot y}^2}\, \d \phi

= \int\limits_{\phi_0}^{\phi_1}\sqrt { {\dot r}^2\cos^2\phi-2\dot r r\sin\phi\cos\phi + r^2\sin^2\phi+ {\dot r}^2\sin^2\phi+2\dot r r\sin\phi\cos\phi + r^2\cos^2\phi}\, \d \phi

=\int\limits_{\phi_0}^{\phi_1}\sqrt { {\dot r}^2+r^2}\d\phi

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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