Parametrisierung nach der Bogenlänge

Wenn bei einer Kurve c(t)c(t) für alle Parameterwerte ∣∣c˙(t)∣∣=1||\dot c(t)||=1 gilt, so heißt die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert. Dann entspricht die Länge eine Bogens genau der Differenz der Parameterwerte. Es gilt nämlich:
∫t0t1∣∣c˙(t)∣∣d⁡t=∫t0t1d⁡t=t1−t0\int\limits_{t_0}^{t_1} {||\dot c(t)||}\d t=\int\limits_{t_0}^{t_1} \d t=t_1-t_0
Eine Kurve c(t)c(t) können wir über die Beziehung:
s(t)=∫t0t∣∣c˙(τ)∣∣d⁡τs(t)=\int\limits_{t_0}^{t} {||\dot c(\tau)||}\d \tau
nach der Bogenlänge parametrisieren. Dabei ist ss der neue Parameter. Es gilt nämlich nach Satz 15VK:
d⁡sd⁡t=∣∣c˙(t)∣∣\dfrac {\d s} {\d t}=||\dot c(t)||(1)
und mit der Kettenregel:
∣∣c˙(s)∣∣=∣∣d⁡c(t)d⁡t⋅d⁡td⁡s∣∣||\dot c(s)||=\ntxbraceI{\ntxbraceI{ \dfrac {\d c(t)} {\d t}\cdot \dfrac {\d t}{\d s}}} =∣∣d⁡c(t)d⁡t∣∣⋅∣∣d⁡td⁡s∣∣=\ntxbraceI{\ntxbraceI{ \dfrac {\d c(t)} {\d t}}}\cdot \ntxbraceI{\ntxbraceI{ \dfrac {\d t}{\d s}}} =∣∣c˙(t)∣∣1∣∣c˙(t)∣∣=1=||\dot c(t)|| \dfrac 1 {||\dot c(t)||}=1

Beispiel

Um den Kreis c(t)=(r0cos⁡t,r0sin⁡t)c(t)=(r_0\cos t, r_0\sin t) nach der Bogenlänge zu parametrisieren berechnen wir zuerst ∣∣c˙(t)∣∣=r0||\dot c(t)||=r_0 und dann
s(t)=∫0t∣∣c˙(τ)∣∣d⁡τ=r0ts(t)=\int\limits_{0}^{t} {||\dot c(\tau)||}\d \tau=r_0t,
womit wir c(s)=(r0cos⁡sr0,r0sin⁡sr0)c(s)=(r_0\cos \dfrac s {r_0}, r_0\sin \dfrac s {r_0}) erhalten.

Höhere Ableitungen

Wegen der Struktur des Integrals aus der Formel für die Bogenlänge (Formel 15WH), ist es nicht immer möglich eine geschlossene Form für die Parametrisierung nach der Bogenlänge anzugeben. Wir können jedoch die Ableitungen nach der Bogenlänge angeben.
Aus (1) folgt sofort:
d⁡td⁡s=1∣∣c˙∣∣=1⟨c˙,c˙⟩\dfrac {\d t} {\d s}=\dfrac 1 {||\dot c||}=\dfrac 1{ \sqrt{\spo \dot c,\dot c\spc}}
und als zweite Ableitung:
d⁡2td⁡s2=d⁡td⁡s(d⁡td⁡s)\dfrac {\d^2 t}{\d s^2}=\dfrac {\d t} {\d s}\braceNT {\dfrac {\d t} {\d s}} =d⁡td⁡s(1⟨c˙,c˙⟩)=\dfrac {\d t} {\d s}\braceNT { \dfrac 1 {\sqrt{\spo \dot c,\dot c\spc}}} =−12⟨c˙,c˙⟩−3/2⋅2⟨c˙,c¨⟩⋅d⁡td⁡s= \uminus\dfrac 1 2 {\spo \dot c,\dot c\spc}^{{\uminus 3/2}}\cdot 2\spo \dot c,\ddot c\spc\cdot \dfrac {\d t} {\d s} =−⟨c˙,c¨⟩⟨c˙,c˙⟩2=-\dfrac{ \spo \dot c,\ddot c\spc} {\spo \dot c,\dot c\spc }^2
Für die Kurve gilt dann:
d⁡d⁡sc(t)=d⁡d⁡tc(t)⋅d⁡td⁡s=c˙⋅1∣∣c˙∣∣\dfrac \d {\d s} c(t)= \dfrac \d {\d t}c(t)\cdot\dfrac {\d t}{\d s}=\dot{c} \cdot \dfrac 1 {||\dot c||}.
Für die 2. Ableitung gilt dann:
d⁡2d⁡s2c(t)=d⁡d⁡s(d⁡d⁡sc(t))\dfrac {\d^2} {\d s^2} c(t)= \dfrac \d {\d s}\braceNT{ \dfrac \d {\d s}c(t)} =d⁡d⁡s(d⁡c(t)d⁡t⋅d⁡td⁡s)= \dfrac \d {\d s}\braceNT{\dfrac {\d c(t)} {\d t}\cdot\dfrac {\d t}{\d s}} =d⁡d⁡s(d⁡c(t)d⁡t)⋅d⁡td⁡s+d⁡c(t)d⁡t⋅d⁡d⁡s(d⁡td⁡s)=\dfrac \d {\d s}\braceNT{\dfrac {\d c(t)} {\d t} }\cdot \dfrac{\d t}{\d s}+\dfrac {\d c(t)} {\d t}\cdot \dfrac \d {\d s}\braceNT{\dfrac{\d t}{\d s}} =d⁡2c(t)d⁡t2⋅(d⁡td⁡s)2+d⁡c(t)d⁡t⋅d⁡d⁡s(d⁡td⁡s)=\dfrac {\d^2 c(t)} {\d t^2} \cdot {\braceNT{\dfrac{\d t}{\d s}}}^2+\dfrac {\d c(t)} {\d t}\cdot \dfrac \d {\d s}\braceNT{\dfrac{\d t}{\d s}} =c˙(d⁡td⁡s)2−c˙d⁡2td⁡s2=\dot c{\braceNT{\dfrac{\d t}{\d s}}}^2- \dot c \dfrac {\d^2 t}{\d s^2} =c¨⋅1∣∣c˙∣∣2−c˙⟨c˙,c˙⟩⟨c˙,c˙⟩2=\ddot c\cdot\dfrac 1 {||\dot c||^2}- \dot c \cfrac {\spo \dot c,\dot c\spc} {\spo \dot c,\dot c\spc}^2 =1∣∣c˙∣∣2⋅(c˙−c˙⟨c˙,c˙⟩⟨c˙,c˙⟩)= \dfrac 1 {||\dot c||^2}\cdot \braceNT{\dot c-\dot c \dfrac {\spo \dot c,\dot c\spc} {\spo \dot c,\dot c\spc}}

Formel 15WJ (Ableitungen nach der Bogenlänge)

Sei c(t)c(t) eine ebene Kurve, dann hat die nach der Bogenlänge ss parametrisierte Kurve folgende Ableitungen:
d⁡d⁡sc(t)=c˙∣∣c˙∣∣\dfrac \d {\d s} c(t)=\dfrac {\dot c} {||\dot c||}
d⁡2d⁡s2c(t)=1∣∣c˙∣∣2⋅(c¨−c˙⟨c˙,c¨⟩⟨c˙,c˙⟩)\dfrac {\d^2} {\d s^2} c(t)= \dfrac 1 {||\dot c||^2}\cdot \braceNT{\ddot c-\dot c \dfrac {\spo \dot c,\ddot c\spc}{{\spo \dot c,\dot c\spc}}}
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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