Regel von de l'Hospital

Die Bestimmung von Funktionsgrenzwerten kann dadurch vereinfacht werden, indem man die auf Grenzwerte der Ableitungen zurückführt. Es gilt:

Satz 15VI (de l'Hospital)

Seien ff und gg zwei auf dem Intervall ]a,b[]a,b[ differenzierbare Funktionen. Für ein x0∈]a,b[x_0\in]a,b[ gelte f(x0)=g(x0)=0f(x_0) =g(x_0)=0 und g′(x0)≠0g'(x_0)\neq 0. Dann gilt:
lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f ′(x)g′(x)\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f\, '(x)}{g'(x)}
unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.

Beweis

Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert für jedes x≠x0x\neq x_0 ein ξ\xi mit
f ′(ξ)g′(ξ)=f(x)−f(x0)g(x)−g(x0)=f(x)g(x)\dfrac {f\, '(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac {f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\dfrac {f(x)}{g(x)}.
Dieses ξ\xi hängt aber von xx ab, also ξ=ξ(x)\xi=\xi(x). Es gilt lim⁡x→x0ξ(x)=x0\lim_{x\rightarrow x_0} \xi(x)=x_0 und damit
lim⁡x→x0f ′(ξ(x))g′(ξ(x))=lim⁡x→x0f ′(x)g′(x)\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f\, '(\xi(x))}{g'(\xi(x))}=\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f\, '(x)}{g'(x)},
woraus die Behauptung folgt. □\qed

Bemerkung

Einen analogen Satz kann man für uneigentliche Grenzwerte f(x),g(x)→∞f(x), g(x)\rightarrow \infty für x→x0x\rightarrow x_0 formulieren.

Beispiele

Der in Beispiel 5319B untersuchte Grenzwert lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x} x=1, lässt sich mit der Regel von de l'Hospital ganz einfach herleiten:
lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→0cos⁡x1=cos⁡(0)=1\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x} x=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x} 1=\cos(0)=1
Man kann die obige Regel auch mehrfach anwenden:
lim⁡x→0x2e⁡x=lim⁡x→02xe⁡x=lim⁡x→02e⁡x=2\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {x^2} {\e^x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {2x} {\e^x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {2} {\e^x}=2.
Mit der Regel können auch Grenzwerte, die nicht die Form 00\dfrac 0 0 haben, bestimmt werden. Um den Grenzwert lim⁡x→0xx\lim_{x\rightarrow 0}x^x zu bestimmen, formen wir ihn um: xx=e⁡x⋅ln⁡xx^x=\e^{x\cdot\ln x}.Leider hilft und dies auch noch nicht weiter, da x⋅ln⁡xx\cdot\ln x auch nicht die geforderte Form hat. Daher setzen wir:
lim⁡x→0x⋅ln⁡x=lim⁡x→0ln⁡x1x\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\ln x=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln x} {\dfrac 1 { x}} =lim⁡x→0 1x−1x2=−lim⁡x→0x=0=\lim_{x\rightarrow 0}\, \dfrac {\dfrac 1 x} {\dfrac {\me} {x^2}}=-\lim_{x\rightarrow 0}x=0.
Damit ist:
lim⁡x→0xx=lim⁡x→0e⁡x⋅ln⁡x=e⁡0=1\lim_{x\rightarrow 0}x^x=\lim_{x\rightarrow 0}\e^{x\cdot\ln x}=\e^0=1.

Weitere Beispiele

lim⁡x→0e⁡x−1x\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\e^x-1}{x}=lim⁡x→0(e⁡x−1)′x′ =\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(\e^x-1)'}{x'} =lim⁡x→0e⁡x1 =\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\e^x}{1}=e⁡01=1 =\dfrac{\e^0}{1}=1
lim⁡x→0e⁡x−1−xx2\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\e^x-1-x}{x^2}=lim⁡x→0(e⁡x−1−x)′(x2)′ =\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(\e^x-1-x)'}{(x^2)'}=lim⁡x→0e⁡x−12x =\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\e^x-1}{2x}=lim⁡x→0e⁡x2x=12 = \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\e^x}{2x}=\dfrac{1}{2}
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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