Regel von de l'Hospital

Die Bestimmung von Funktionsgrenzwerten kann dadurch vereinfacht werden, indem man die auf Grenzwerte der Ableitungen zurückführt. Es gilt:

Satz 15VI (de l'Hospital)

Seien \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle g\) zwei auf dem Intervall \(\displaystyle ]a,b[\) differenzierbare Funktionen. Für ein \(\displaystyle x_0\in]a,b[\) gelte \(\displaystyle f(x_0) =g(x_0)=0\) und \(\displaystyle g'(x_0)\neq 0\). Dann gilt:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f\, '(x)}{g'(x)}\)
unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
 
 

Beweis

Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert für jedes \(\displaystyle x\neq x_0\) ein \(\displaystyle \xi\) mit
\(\displaystyle \dfrac {f\, '(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac {f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\dfrac {f(x)}{g(x)}\).
Dieses \(\displaystyle \xi\) hängt aber von \(\displaystyle x\) ab, also \(\displaystyle \xi=\xi(x)\). Es gilt \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \xi(x)=x_0\) und damit
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f\, '(\xi(x))}{g'(\xi(x))}=\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac {f\, '(x)}{g'(x)}\),
woraus die Behauptung folgt. \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung

Einen analogen Satz kann man für uneigentliche Grenzwerte \(\displaystyle f(x), g(x)\rightarrow \infty\) für \(\displaystyle x\rightarrow x_0 \) formulieren.

Beispiele

Der in Beispiel 5319B untersuchte Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x} x=1\), lässt sich mit der Regel von de l'Hospital ganz einfach herleiten:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x} x=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x} 1=\cos(0)=1\)
Man kann die obige Regel auch mehrfach anwenden:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {x^2} {\e^x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {2x} {\e^x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {2} {\e^x}=2\).
Mit der Regel können auch Grenzwerte, die nicht die Form \(\displaystyle \dfrac 0 0\) haben, bestimmt werden. Um den Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x^x\) zu bestimmen, formen wir ihn um: \(\displaystyle x^x=\e^{x\cdot\ln x}\).Leider hilft und dies auch noch nicht weiter, da \(\displaystyle x\cdot\ln x\) auch nicht die geforderte Form hat. Daher setzen wir:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\ln x=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln x} {\dfrac 1 { x}}\) \(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 0}\, \dfrac {\dfrac 1 x} {\dfrac {\me} {x^2}}=-\lim_{x\rightarrow 0}x=0\).
Damit ist:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x^x=\lim_{x\rightarrow 0}\e^{x\cdot\ln x}=\e^0=1\).

Weitere Beispiele

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\e^x-1}{x}\)\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(\e^x-1)'}{x'} \)\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\e^x}{1}\)\(\displaystyle =\dfrac{\e^0}{1}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\e^x-1-x}{x^2}\)\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(\e^x-1-x)'}{(x^2)'}\)\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\e^x-1}{2x}\)\(\displaystyle = \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\e^x}{2x}=\dfrac{1}{2}\)

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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