Flächeninhalt des Sehnenvierecks

Den Flächeninhalt des Sehnenvierecks kann man durch eine einfache, nur von den Seiten abhängende, Formel ermitteln.

Formel 5518F (Brahmagupta)

A=(sa)(sb)(sc)(sd)A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},
wobei ss der halbe Umfang ist: s=a+b+c+d2s=\dfrac {a+b+c+d} 2.
Aus dieser Formel erhält man leicht die Heronische Flächenformel für Dreiecke, indem man d=0d=0 setzt.

Herleitung

FlViereck.png
Mit Satz 5518E erhalten wir
A=12efsinφA=\dfrac 1 2\cdot ef\cdot \sin\phi.(1)
Quadrieren wir diese Gleichung und multiplizieren sie mit 16, ergibt sich
16A2=4e2f2sin2φ16\cdot A^2=4\cdot e^2f^2\cdot \sin^2\phi,(2)
und unter Benutzung des Satzes von Ptolemäus und von Satz 5220B:
16A2=4e2f2(1cos2φ)16\cdot A^2=4\cdot e^2f^2(1-\cos^2\phi) =4(ac+bd)24e2f2cos2φ=4(ac+bd)^2-4\cdot e^2f^2\cos^2\phi.(3)
Jetzt wenden wir den Kosinussatz auf die einzelnen Teildreiecke an und erhalten:
a2=e12+f122e1f1cosφa^2={e_1}^2+{f_1}^2-2 e_1 f_1\cos\phi(4)
b2=f12+e22+2f1e2cosφb^2={f_1}^2+{e_2}^2+2 f_1 e_2\cos\phi(5)
c2=e22+f222e2f2cosφc^2={e_2}^2+{f_2}^2-2 e_2 f_2\cos\phi(6)
d2=f22+e12+2f2e1cosφd^2={f_2}^2+{e_1}^2+2 f_2 e_1\cos\phi.(7)
Dabei steckt in (5) und (7) die Beziehung cos(180°φ)=cosφ\cos(180°-\phi)=\uminus\cos\phi.
Aus (4)-(7) folgt dann
a2+b2c2+d2=2efcosφ-a^2+b^2-c^2+d^2=2 e f\cos\phi,(8)
was wir in (3) einsetzen, um
16A2=4(ac+bd)2(a2+b2c2+d2)216\cdot A^2=4(ac+bd)^2-(-a^2+b^2-c^2+d^2)^2 =[2(ac+bd)+(a2+b2c2+d2)][2(ac+bd)(a2+b2c2+d2)]=\ntxbraceL{2(ac+bd)+(\uminus a^2+b^2-c^2+d^2)}\ntxbraceL{2(ac+bd)-(\uminus a^2+b^2-c^2+d^2)} =[(ac)2+(b+d)2][(a+c)2(bd)2]=\ntxbraceL{\uminus(a-c)^2+(b+d)^2}\ntxbraceL{(a+c)^2-(b-d)^2} =(ac+b+d)(a+c+b+d)(a+c+bd)(a+cd+b)=(a-c+b+d)(-a+c+b+d)(a+c+b-d)(a+c-d+b) =2(sc)2(sa)2(sd)2(sb)=2(s-c)\cdot 2(s-a)\cdot 2(s-d)\cdot 2(s-b) =16(sc)(sa)(sd)(sb)=16(s-c)(s-a)(s-d)(s-b)(9)
zu erhalten, woraus sich sofort die Behauptung ergibt. \qed
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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