Eigenschaften der Delta-Distribution

$\langle\delta,f\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x=f(0)$

$\int\limits_{- \infty}^\infty f(x)\,\delta (x-a)\,\mathrm{d}x=\int\limits_{- \infty}^\infty f(x)\,\delta (a-x)\,\mathrm{d}x=f(a),$

speziell für den Fall der konstanten Funktion 1:

$\int\limits_{- \infty}^\infty \delta (x-a)\,\mathrm{d}x=1$

Linearität

$\langle\delta,f+g\rangle=\langle\delta,f\rangle+\langle\delta,g\rangle=f(0)+g(0)$

Translation

$\langle\delta(\cdot-a),f\rangle=\langle\delta,f(\cdot+a)\rangle=f(a)$

für $\delta(\cdot-a)$ ist auch die Bezeichnung $\delta_{a}$ gebräuchlich.

Skalierung

$\langle\delta(a\cdot),f\rangle=\dfrac{1}{|a|}\langle\delta,f(\dfrac{\cdot}{a})\rangle=\dfrac{1}{|a|}f(0)$

$\delta(\alpha x) = \dfrac{1}{|\alpha|} \delta(x)$

d. h. die Delta-Distribution ist homogen vom Grad -1.

Dimension

Hintereinanderausführung

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\,\delta(g(x))\,\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{n}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\dfrac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}\,\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\phi(x_{i})}{|g'(x_{i})|},$

$\delta(g(x))=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\delta(x-x_{i})}{|g^{\prime}(x_{i})|}$

$\delta(x^2 - \alpha^2) = \dfrac{1}{2|\alpha|} [\delta(x - \alpha)+ \delta(x + \alpha) ],$

Fouriertransformation

$\delta(x-a) = \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ik(x-a)}\,\mathrm{d}k = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{i 2\pi\tilde{\nu}(x-a)}\,\mathrm{d}\tilde{\nu}$

Laplace-Transformation

$\mathcal{L}\left\{ \delta(x)\right\} (s)=\int\limits_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-sx}\,\delta(x)\,\mathrm{d}x=1$

Irregularität

$\int\limits_{a}^{b}|\delta(x)|\mathrm{d}x<\infty$

$\langle\delta,f\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x=f(0)$

$\phi_{b}(x)=\begin{cases}\exp(\dfrac{b^{2}}{x^{2}-b^{2}}) & |x|<b\\0 & |x|\geq b\end{cases}$

$\langle\delta,\phi_{b}\rangle = \phi_{b}(0)=\exp(-1)=\mathrm{const}_{\,b}$

$\langle\delta,\phi_{b}\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,\phi_{b}(x)\,\mathrm{d}x=\int\limits_{-b}^{b}\delta(x)\,\phi_{b}(x)\,\mathrm{d}x$

$\phi_{b}(0)=|\langle\delta,\phi_{b}\rangle|$$=\left|\int\limits_{-b}^{b}\delta(x)\,\phi_{b}(x)\,\mathrm{d}x\right|\leq\underbrace{\|\phi_{b}(x)\|_{\infty}}_{\phi_{b}(0)}\,\int\limits_{-b}^{b}|\delta(x)|\,\mathrm{d}x\underset{(b<b_{c})}{<}\phi_{b}(0)$

Ableitungen

Ableitung der Delta-Distribution

$\langle\delta',f\rangle=-\langle\delta,f'\rangle=-f'(0)$

$\langle\delta^{(n)},f\rangle=(-1)^{n}\langle\delta,f^{(n)}\rangle=(-1)^{n}f^{(n)}(0)$

Ableitung der Dirac-Folge

$\langle\delta_{\epsilon}^{\prime},f\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}^{\prime}(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x$$= \underbrace{\left[\delta_{\epsilon}(x)\, f(x)\right]_{-\infty}^{\infty}}_{=0}-\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(x)\, f^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x$ $= -\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(x)\, f^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x$$= -\langle\delta_{\epsilon},f^{\prime}\rangle$

$\lim_{\epsilon\to0}\langle\delta_{\epsilon}^{\prime},f\rangle=-f^{\prime}(0)=\langle\delta^{\prime},f\rangle$

Ableitung der Heaviside-Distribution

$\langle\Theta',f\rangle=-\langle\Theta,f'\rangle=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}\Theta(x)\, f'(x)\,\mathrm{d}x=-\int\limits_{0}^{\infty}f'(x)\,\mathrm{d}x=-\underbrace{f(\infty)}_{=0}+f(0)=\langle\delta,f\rangle$

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

Beispiele

• Delta-Distribution
  • Approximation
  • Eigenschaften
  • Mehrdimensionale Delta-Distributionen