Mehrdimensionale Delta-Distributionen

Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen E\mathcal{E} gleich C∞(Rn)C^{\infty}(\mathbb{R}^{n}), der Raum der unendlich oft stetig partiell differenzierbaren Funktionen f ⁣: Rn→Rf\colon\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}.
Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion f ⁣: Rn→Rf\colon\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} die folgende Wirkung:
δ ⁣: E→R , f↦f(0)\delta\colon\,\mathcal{E}\to\mathbb{R}\,,\ f\mapsto f(\vec{0})
In der Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:
∫f(x) δ(x−a) dnx=∫f(x) δ(a−x) dnx=f(a)\int\limits f(\vec{x})\,\delta(\vec{x}-\vec{a})\,\mathrm{d}^{n}x=\int\limits f(\vec{x})\,\delta(\vec{a}-\vec{x})\,\mathrm{d}^{n}x=f(\vec{a})
Die "mehrdimensionale" Delta-Distribution lässt sich als Produkt von "eindimensionalen" Delta-Distributionen schreiben:
δ(x−a)=δ(x1−a1) δ(x2−a2) … δ(xn−an)\delta(\vec{x}-\vec{a})=\delta(x_{1}-a_{1})\,\delta(x_{2}-a_{2})\, \dots \,\delta(x_{n}-a_{n})
Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der Elektrodynamik eingesetzt wird, um Punktladungen darzustellen:
δ(x−a)=−14πΔ1∥x−a∥2\delta(\vec{x}-\vec{a})=-\dfrac{1}{4\pi}\Delta\dfrac{1}{\|\vec{x}-\vec{a}\|_{2}}

Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen

In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante
d3r=dx dy dz=∂(x,y,z)∂(a,b,c) da db dc\mathrm{d}^{3}r = \mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z = \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)}~\mathrm{d}a~\mathrm{d}b~\mathrm{d}c
berücksichtigt werden.[1]
Der Ansatz
δ(r−r0)=γ(a,b,c) δ(a−a0) δ(b−b0) δ(c−c0)\delta({\vec{r}-\vec{r_0}}) = \gamma(a,b,c)~\delta(a-a_0)~\delta(b-b_0)~\delta(c-c_0)
mit r=(a,b,c)\vec{r} = (a,b,c) und r0=(a0,b0,c0)\vec{r_0} = (a_0, b_0, c_0) führt dabei auf die Gleichung
∫Vδ(r−r0) d3r=∭V∂(x,y,z)∂(a,b,c) γ(a,b,c) δ(a−a0) δ(b−b0) δ(c−c0) da db dc =! 1\int\limits\limits_V \delta(\vec{r}-\vec{r_0})~\mathrm{d}^{3}r = \iiint\limits_V \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)}~\gamma(a,b,c)~\delta(a-a_0)~\delta(b-b_0)~\delta(c-c_0)~\mathrm{d}a~\mathrm{d}b~\mathrm{d}c~\stackrel{!}{=}~1, falls r0∈V\vec{r_0} \in V.
Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss
γ=(det⁡∂(x,y,z)∂(a,b,c)∣r0)−1\gamma = \left( \left. \det\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(a,b,c)} \right|_{\vec{r_0}} \right)^{-1}.
In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminate entspricht.

Beispiele

In Kugelkoordinaten mit r=(r,ϑ,φ)\vec{r} = (r, \vartheta, \varphi) und r0=(r0,ϑ0,φ0)\vec{r_0} = (r_0, \vartheta_0, \varphi_0) gilt:
δ(r−r0)=1r02sin⁡ϑ0 δ(r−r0) δ(ϑ−ϑ0) δ(φ−φ0)\delta(\vec{r} - \vec{r_0}) = \dfrac{1}{r_0^2 \sin \vartheta_0}~\delta(r-r_0)~\delta(\vartheta-\vartheta_0)~\delta(\varphi-\varphi_0)
In Zylinderkoordinaten mit r=(ρ,φ,z)\vec{r} = (\rho, \varphi, z) und r0=(ρ0,φ0,z0)\vec{r_0} = (\rho_0, \varphi_0, z_0) gilt:
δ(r−r0)=1ρ0 δ(ρ−ρ0) δ(φ−φ0) δ(z−z0)\delta(\vec{r} - \vec{r_0}) = \dfrac{1}{\rho_0}~\delta(\rho-\rho_0)~\delta(\varphi-\varphi_0)~\delta(z-z_0)
 
 
 
1  Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71251-0.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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