Der schwimmende Hund

Ein Hund ist fatalerweise ans falsche Flussufer gekommen (Punkt (0;a)) und möchte gerne zu seinem Herrchen, der sich im Nullpunkt langweilt, zurück schwimmen. Der Hund schwimme mit der Geschwindigkeit $v$ und der Fluss habe die Strömungsgeschwindigkeit $c$.

Da der Hund ein etwas dümmliches Tier ist, schwimmt er immer genau auf sein Herrchen zu.

Mit gesunden Menschenverstand vermuten wir nun, dass für $v>c$ der Hund beim Herrchen ankommt, für $c>v$ jedoch abgetrieben wird. Was passiert im Fall $v=c$? Auf welcher Kurve schwimmt der Hund?

Die Position des Hundes zur Zeit $t$ sei $P(t)=(x(t),y(t))$. Da der Hund immer genau auf sein Herrchen zuschwimmt, ist sein Geschwindigkeitsvektor $v\cdot \dfrac{-(x(t),y(t))}{||(x(t),y(t))||}$ $=v\cdot \dfrac{-(x(t),y(t))}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}$

Die Gesamtgeschwindigkeit $(\dot x(t),\dot y(t))$ ergibt sich aus den Summen der Hundegeschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit des Flusses.

Ausgeschrieben erhalten wir ein System mit zwei Differentialgleichungen:

Es gilt $y'=\dfrac {\d y}{\d x}=\ \dfrac {\d y}{\d t}\cdot \dfrac {\d t} {\d x}=\dfrac {\dot y} {\dot x}$ (vgl. Tangentialvektor einer ebenen Kurve).

$y'=\dfrac {\dfrac {-vy} {\sqrt{x^2+y^2}} } {\dfrac {-vx} {\sqrt{x^2+y^2}} +c}$ $=\dfrac {-vy} {-vx+c\sqrt{x^2+y^2}}$ $=\dfrac {vy} {vx-c\sqrt{x^2+y^2}}$ $=\dfrac {v\dfrac y x} {v-c\sqrt{1+\braceNT{ \dfrac y x}^2}}$

Es handelt sich um eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, die mittels der Substitution $z=\dfrac y x$ gelöst wird.

$f(z)-z=\dfrac{vz}{v-c\sqrt{1+z^2}}-z$ $=\dfrac {vz -vz+cz\sqrt{1+z^2}}{v-c\sqrt{1+z^2}}$ $=\dfrac {cz\sqrt{1+z^2}}{v-c\sqrt{1+z^2}}$

$\dfrac {\d z}{f(z)-z}=\dfrac{v-c\sqrt{1+z^2}} {cz\sqrt{1+z^2}}\d z$ $=\braceNT {\dfrac v c\cdot \dfrac{1} {z\sqrt{1+z^2}}-\dfrac 1 z}\d z$ $=\dfrac {\d x} x$

$\int\limits \braceNT {\dfrac v c\cdot \dfrac{1} {z\sqrt{1+z^2}}-\dfrac 1 z}\d z$ $=\int\limits \dfrac {\d x} x$

$\dfrac v c\cdot \int\limits \dfrac{1} {z\sqrt{1+z^2}}\d z- \int\limits\dfrac 1 z\d z$ $=\int\limits \dfrac {\d x} x$

$-\dfrac v c\ln\dfrac {1+\sqrt{1+z^2}} z -\ln z=\ln x+C$ (Beispiel 167I)

Rücksubstitution:

$-\dfrac v c\ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y -\ln \dfrac y x=\ln x+C$ $\implies -\dfrac v c\ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y -\ln y +\ln x=\ln x+C$ $\implies -\dfrac v c\ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y=\ln y+C$ $\implies -v \ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y=c\ln y+C_1$ $\implies -v \ln (x+\sqrt{x^2+y^2}) +v\ln y=c\ln y+C_1$ $\implies -v \ln (x+\sqrt{x^2+y^2})=(c-v)\ln y+C_1$ $\implies v \ln (x+\sqrt{x^2+y^2})=(v-c)\ln y+C_2$ $\implies \ln (x+\sqrt{x^2+y^2})=(1-\dfrac c v)\ln y+C_3$

Lösung in impliziter Form:

Einsetzen des Anfangswerts $(x,y)=(0,a)$ ergibt: $a=Ka^{1- \frac c v}$ $\implies K=a^{\frac c v}$.

Da die Lösung als Funktion $y(x)$ nicht eindeutig ist, finden wir keine explizite Darstellung.

Fall $v>c$ (Hund ist schneller als Fluss)

Für $y\to 0$ ist $y^{1- \frac c v}\to 0$ und damit $x+\sqrt{x^2+y^2}\to 0$, woraus folgt, dass $x\to 0$. Der Hund kommt also beim Herrchen im Nullpunkt an.

Fall $v<c$ (Fluss schneller als Hund)

Nun strebt $y^{1- \frac c v}\to \infty$ für $y\to 0$. Die linke Seite strebt gegen $2x$, daher gilt $x\to \infty$. Der Hund kommt nicht an und paddelt ewig.

Fall $v=c$ (Hund und Fluss gleich schnell)

Hier gilt $x+\sqrt{x^2+y^2}=a$ $\implies$ $x^2+y^2=(a-x)^2$ $=a^2-2ax+x^2$ $\implies$ $y^2=a^2-2ax$

Der Hund paddelt auf einer Parabel und kommt im Punkt $\braceNT{\dfrac a 2; 0}$ an, muss also noch etwas laufen um zu seinem Herrchen zu kommen.