Der schwimmende Hund

Hund.png
Ein Hund ist fatalerweise ans falsche Flussufer gekommen (Punkt (0;a)) und möchte gerne zu seinem Herrchen, der sich im Nullpunkt langweilt, zurück schwimmen. Der Hund schwimme mit der Geschwindigkeit vv und der Fluss habe die Strömungsgeschwindigkeit cc.
Da der Hund ein etwas dümmliches Tier ist, schwimmt er immer genau auf sein Herrchen zu.
Mit gesunden Menschenverstand vermuten wir nun, dass für v>cv>c der Hund beim Herrchen ankommt, für c>vc>v jedoch abgetrieben wird. Was passiert im Fall v=cv=c? Auf welcher Kurve schwimmt der Hund?

Aufstellen der DGL

Die Position des Hundes zur Zeit tt sei P(t)=(x(t),y(t))P(t)=(x(t),y(t)). Da der Hund immer genau auf sein Herrchen zuschwimmt, ist sein Geschwindigkeitsvektor v(x(t),y(t))(x(t),y(t))v\cdot \dfrac{-(x(t),y(t))}{||(x(t),y(t))||} =v(x(t),y(t))x2(t)+y2(t)=v\cdot \dfrac{-(x(t),y(t))}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}
Die Gesamtgeschwindigkeit (x˙(t),y˙(t))(\dot x(t),\dot y(t)) ergibt sich aus den Summen der Hundegeschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit des Flusses.
(x˙(t),y˙(t))=v(x(t),y(t))x2(t)+y2(t)+(c,0)(\dot x(t),\dot y(t))=v\cdot \dfrac{-(x(t),y(t))}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}+(c,0)
Ausgeschrieben erhalten wir ein System mit zwei Differentialgleichungen:
x˙(t)=vx2(t)+y2(t)x(t)+c\dot x(t)=\dfrac {-v} {\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}} x(t)+c
y˙(t)=vx2(t)+y2(t)y(t)\dot y(t)=\dfrac {-v} {\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}} y(t)
Es gilt y=dydx= dydtdtdx=y˙x˙y'=\dfrac {\d y}{\d x}=\ \dfrac {\d y}{\d t}\cdot \dfrac {\d t} {\d x}=\dfrac {\dot y} {\dot x} (vgl. Tangentialvektor einer ebenen Kurve).
y=vyx2+y2vxx2+y2+cy'=\dfrac {\dfrac {-vy} {\sqrt{x^2+y^2}} } {\dfrac {-vx} {\sqrt{x^2+y^2}} +c} =vyvx+cx2+y2=\dfrac {-vy} {-vx+c\sqrt{x^2+y^2}} =vyvxcx2+y2=\dfrac {vy} {vx-c\sqrt{x^2+y^2}} =vyxvc1+(yx)2=\dfrac {v\dfrac y x} {v-c\sqrt{1+\braceNT{ \dfrac y x}^2}}

Lösen der DGL

Es handelt sich um eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, die mittels der Substitution z=yxz=\dfrac y x gelöst wird.
f(z)z=vzvc1+z2zf(z)-z=\dfrac{vz}{v-c\sqrt{1+z^2}}-z =vzvz+cz1+z2vc1+z2=\dfrac {vz -vz+cz\sqrt{1+z^2}}{v-c\sqrt{1+z^2}} =cz1+z2vc1+z2=\dfrac {cz\sqrt{1+z^2}}{v-c\sqrt{1+z^2}}
dzf(z)z=vc1+z2cz1+z2dz\dfrac {\d z}{f(z)-z}=\dfrac{v-c\sqrt{1+z^2}} {cz\sqrt{1+z^2}}\d z =(vc1z1+z21z)dz=\braceNT {\dfrac v c\cdot \dfrac{1} {z\sqrt{1+z^2}}-\dfrac 1 z}\d z =dxx=\dfrac {\d x} x
(vc1z1+z21z)dz\int\limits \braceNT {\dfrac v c\cdot \dfrac{1} {z\sqrt{1+z^2}}-\dfrac 1 z}\d z =dxx=\int\limits \dfrac {\d x} x
vc1z1+z2dz1zdz\dfrac v c\cdot \int\limits \dfrac{1} {z\sqrt{1+z^2}}\d z- \int\limits\dfrac 1 z\d z =dxx=\int\limits \dfrac {\d x} x
vcln1+1+z2zlnz=lnx+C-\dfrac v c\ln\dfrac {1+\sqrt{1+z^2}} z -\ln z=\ln x+C (Beispiel 167I)
Rücksubstitution:
vclnx+x2+y2ylnyx=lnx+C-\dfrac v c\ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y -\ln \dfrac y x=\ln x+C     vclnx+x2+y2ylny+lnx=lnx+C\implies -\dfrac v c\ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y -\ln y +\ln x=\ln x+C     vclnx+x2+y2y=lny+C\implies -\dfrac v c\ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y=\ln y+C     vlnx+x2+y2y=clny+C1\implies -v \ln\dfrac {x+\sqrt{x^2+y^2}} y=c\ln y+C_1     vln(x+x2+y2)+vlny=clny+C1\implies -v \ln (x+\sqrt{x^2+y^2}) +v\ln y=c\ln y+C_1     vln(x+x2+y2)=(cv)lny+C1\implies -v \ln (x+\sqrt{x^2+y^2})=(c-v)\ln y+C_1     vln(x+x2+y2)=(vc)lny+C2\implies v \ln (x+\sqrt{x^2+y^2})=(v-c)\ln y+C_2     ln(x+x2+y2)=(1cv)lny+C3\implies \ln (x+\sqrt{x^2+y^2})=(1-\dfrac c v)\ln y+C_3
Lösung in impliziter Form:
x+x2+y2=Ky1cvx+\sqrt{x^2+y^2}=Ky^{1- \dfrac c v}
Einsetzen des Anfangswerts (x,y)=(0,a)(x,y)=(0,a) ergibt: a=Ka1cva=Ka^{1- \frac c v}     K=acv\implies K=a^{\frac c v}.
x+x2+y2=acvy1cvx+\sqrt{x^2+y^2}=a^{\frac c v}y^{1- \frac c v}
Da die Lösung als Funktion y(x)y(x) nicht eindeutig ist, finden wir keine explizite Darstellung.

Diskussion der Lösung

KurvHund.png
Fall v>cv>c (Hund ist schneller als Fluss)
Für y0y\to 0 ist y1cv0y^{1- \frac c v}\to 0 und damit x+x2+y20x+\sqrt{x^2+y^2}\to 0, woraus folgt, dass x0x\to 0. Der Hund kommt also beim Herrchen im Nullpunkt an.
Fall v<cv<c (Fluss schneller als Hund)
Nun strebt y1cvy^{1- \frac c v}\to \infty für y0y\to 0. Die linke Seite strebt gegen 2x2x, daher gilt xx\to \infty. Der Hund kommt nicht an und paddelt ewig.
Fall v=cv=c (Hund und Fluss gleich schnell)
Hier gilt x+x2+y2=ax+\sqrt{x^2+y^2}=a     \implies x2+y2=(ax)2x^2+y^2=(a-x)^2 =a22ax+x2=a^2-2ax+x^2     \implies y2=a22axy^2=a^2-2ax
Der Hund paddelt auf einer Parabel und kommt im Punkt (a2;0)\braceNT{\dfrac a 2; 0} an, muss also noch etwas laufen um zu seinem Herrchen zu kommen.
 
 

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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