Kurvenscharen

Haben wir eine Kurvenschar f(x,y,c)f(x,y,c) gegeben, wobei cc der so genannte Scharparameter ist, so erhalten wir nach Differentiation ∂f(x,y,c)∂x\dfrac {\partial f(x,y,c)}{\partial x} eine zweite Gleichung. Eliminieren wir den Scharparameter cc, so ist das Ergebnis im Allgemeinen eine Differentialgleichung erster Ordnung der Form F(x,y,y′)F(x,y,y'). Deren Lösungen ergeben dann die Kurven der Kurvenschar.

Beispiele

Parabeln

Aus der Gleichung der Parabelschar y=ax2y=ax^2 erhalten wir y′=2axy'=2ax. Setzen wir nun a=yx2a=\dfrac y {x^2} ein, ergibt sich die DGL y′=2yx2x=2yxy'=2\dfrac y {x^2} x=2\dfrac y x. Diese kann durch Trennung der Variablen gelöst werden.

Exponentialfunktionen

Für y=cxe⁡xy=cx\e^x ergibt sich y′=ce⁡x+cxe⁡x=ce⁡x(1+x)y'=c\e^x+cx\e^x=c\e^x(1+x). Die DGL lautet also y′=yx(1+x)y'=\dfrac y x (1+x).

Kreise

Durch x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 sind Kreise um den Ursprung gegeben. Nach Differentiation erhalten wir 2x+2yy′=02x+2yy'=0. Die Differentialgleichung y′=−xyy'=-\dfrac x y beschreibt damit konzentrische Kreise um den Ursprung (siehe: Beispiel 166V)
 
 

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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Gewöhnliche Differentialgleichungen