Aufgabe 16G2

Seien $\alpha, \beta, \gamma$ die Innenwinkel eines Dreiecks. Man zeige, dass $\sin\dfrac\alpha 2\, \cdot \sin \dfrac{\beta}{2} \, \cdot \sin \dfrac\gamma 2 \leq \dfrac 1 8$

Für alle $x,y>0$ gilt $(x-y)^{2} \geq 0$ und damit $x^2 + y^2 \geq 2xy$ und nach der Division durch $xy>0$ ergibt sich weiterhin $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2$.

Für $z>0$ kann man die entsprechenden Beziehungen herleiten: $\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 2$ und $\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \geq 2$.

Wenn wir die drei Ungleichungen addieren ergibt sich: $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} +\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+ \dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \geq 6$ oder anders geschrieben $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} +\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+ \dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} +2 \geq 8$.

Bringen wir jetzt die linke Seite auf den Hauptnenner $xyz$: $\dfrac{x^{2}y+xy^{2}+x^{2}z+xz^{2}+y^{2}z+yz^{2}}{xyz} \geq 8$. Im Zähler können wir $x+y$ und $x+z$ ausklammern und erhalten: $\dfrac{(x+y)(x+z)(y+z)}{xyz} \geq 8$; und mit dem Reziproken:

Wenigstens stimmt schon mal die rechte Seite unserer Ungleichung. Die Frage ist allerdings, was dieses ganze $x,y,z$-Zeug mit dem Dreieck zu tun hat. Die Bedeutung der $x,y,z$ ersieht man aus folgender Abbildung.

Hier ist $M$ ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; $E$, $F$ und $G$ sind die Lotfußpunkte von $M$ aus auf die Dreiecksseiten $a$, $b$ und $c$.

Man findet die $x,y,z$ als Teilstrecken der Dreicksseiten $a,b,c$ wieder. Man überzeugt sich leicht, dass die mit $x$ bezeichnete Seite $\overline {AG}$ gleichlang wie die mit $x$ bezeichnete Strecke $\overline {AF}$ ist, da $\Delta AGM$ kongruent zu $\Delta AMF$ ist. Sie stimmen in der Seite $\overline {AM}$ sowie zwei Winkeln (einem rechten und $\dfrac \alpha 2$ überein).

Aus der Abbildung ersieht man außerdem: $c=x+y$, $b=x+z$ und $a=y+z$. Wir setzen den halben Umfang $s=\dfrac{a+b+c}2$. Es gilt dann $s=x+y+z$ und damit $x=s-a$, $y=s-b$ und $z=s-c$.

Setzen wir dies in (1) ein ergibt sich: $\dfrac{xyz}{(x+y)(x+z)(y+z)}$ $=$ $\dfrac{xyz}{abc}$ $=$ $\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}$ und wir sind die $x,y,z$ elegant losgeworden.

Als Zwischenergebnis können wir festellen: In jedem Dreieck gilt:

$\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}\leq \dfrac 1 8$

Weitere Umformungen $\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{(s-a)^{2}(s-b)^{2}(s-c)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}$ $=\sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab} }\cdot \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-c)} {ac}} \cdot \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)} {bc}}$ lassen den Ausdruck nicht unbedingt schöner aussehen, erlauben uns jedoch, den Halbwinkelsatz anzuwenden.

Dieser lautete für die drei Winkel: $\sin \dfrac \alpha 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)} {bc}}$, $\sin \dfrac \beta 2 = \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-c)} {ac}}$ und $\sin \dfrac \gamma 2 = \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}$.

Wenn wir jetzt die einzelnen Wurzeln ersetzen, erhalten wir unmittelbar die Behauptung: $\sin\dfrac\alpha 2\cdot \sin \dfrac{\beta}{2} \cdot \sin \dfrac\gamma 2 \leq \dfrac 1 8$ .