Aufgabe 16G2

Seien α,β,γ\alpha, \beta, \gamma die Innenwinkel eines Dreiecks. Man zeige, dass sinα2sinβ2sinγ218\sin\dfrac\alpha 2\, \cdot \sin \dfrac{\beta}{2} \, \cdot \sin \dfrac\gamma 2 \leq \dfrac 1 8

Lösung

Vorbereitungen

Für alle x,y>0x,y>0 gilt (xy)20(x-y)^{2} \geq 0 und damit x2+y22xyx^2 + y^2 \geq 2xy und nach der Division durch xy>0xy>0 ergibt sich weiterhin xy+yx2\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2.
Für z>0z>0 kann man die entsprechenden Beziehungen herleiten: xz+zx2\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 2 und yz+zy2\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \geq 2.
Wenn wir die drei Ungleichungen addieren ergibt sich: xy+yx+xz+zx+yz+zy6\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} +\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+ \dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \geq 6 oder anders geschrieben xy+yx+xz+zx+yz+zy+28\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} +\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+ \dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} +2 \geq 8.
Bringen wir jetzt die linke Seite auf den Hauptnenner xyzxyz: x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2xyz8\dfrac{x^{2}y+xy^{2}+x^{2}z+xz^{2}+y^{2}z+yz^{2}}{xyz} \geq 8. Im Zähler können wir x+yx+y und x+zx+z ausklammern und erhalten: (x+y)(x+z)(y+z)xyz8\dfrac{(x+y)(x+z)(y+z)}{xyz} \geq 8; und mit dem Reziproken:
xyz(x+y)(x+z)(y+z)18\dfrac{xyz}{(x+y)(x+z)(y+z)} \leq \dfrac 1 8(1)
Wenigstens stimmt schon mal die rechte Seite unserer Ungleichung. Die Frage ist allerdings, was dieses ganze x,y,zx,y,z-Zeug mit dem Dreieck zu tun hat. Die Bedeutung der x,y,zx,y,z ersieht man aus folgender Abbildung.
DreieckInnenkreis.png
 
 

Arbeit am Dreieck

Hier ist MM ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; EE, FF und GG sind die Lotfußpunkte von MM aus auf die Dreiecksseiten aa, bb und cc.
Man findet die x,y,zx,y,z als Teilstrecken der Dreicksseiten a,b,ca,b,c wieder. Man überzeugt sich leicht, dass die mit xx bezeichnete Seite AG\overline {AG} gleichlang wie die mit xx bezeichnete Strecke AF\overline {AF} ist, da ΔAGM\Delta AGM kongruent zu ΔAMF\Delta AMF ist. Sie stimmen in der Seite AM\overline {AM} sowie zwei Winkeln (einem rechten und α2\dfrac \alpha 2 überein).
Aus der Abbildung ersieht man außerdem: c=x+yc=x+y, b=x+zb=x+z und a=y+za=y+z. Wir setzen den halben Umfang s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}2. Es gilt dann s=x+y+zs=x+y+z und damit x=sax=s-a, y=sby=s-b und z=scz=s-c.
Setzen wir dies in (1) ein ergibt sich: xyz(x+y)(x+z)(y+z)\dfrac{xyz}{(x+y)(x+z)(y+z)} == xyzabc\dfrac{xyz}{abc} == (sa)(sb)(sc)abc\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} und wir sind die x,y,zx,y,z elegant losgeworden.
Als Zwischenergebnis können wir festellen: In jedem Dreieck gilt:
(sa)(sb)(sc)abc18\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}\leq \dfrac 1 8

Endspurt

Weitere Umformungen (sa)(sb)(sc)abc\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} == (sa)2(sb)2(sc)2a2b2c2\sqrt{\dfrac{(s-a)^{2}(s-b)^{2}(s-c)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}} =(sa)(sb)ab(sa)(sc)ac(sb)(sc)bc=\sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab} }\cdot \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-c)} {ac}} \cdot \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)} {bc}} lassen den Ausdruck nicht unbedingt schöner aussehen, erlauben uns jedoch, den Halbwinkelsatz anzuwenden.
Dieser lautete für die drei Winkel: sinα2=(sb)(sc)bc\sin \dfrac \alpha 2 = \sqrt{ \dfrac {(s-b)(s-c)} {bc}}, sinβ2=(sa)(sc)ac\sin \dfrac \beta 2 = \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-c)} {ac}} und sinγ2=(sa)(sb)ab\sin \dfrac \gamma 2 = \sqrt {\dfrac {(s-a)(s-b)} {ab}}.
Wenn wir jetzt die einzelnen Wurzeln ersetzen, erhalten wir unmittelbar die Behauptung: sinα2sinβ2sinγ218\sin\dfrac\alpha 2\cdot \sin \dfrac{\beta}{2} \cdot \sin \dfrac\gamma 2 \leq \dfrac 1 8 .

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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