Aufgabe 16G6

da6.png
Im Dreieck ΔABC\Delta ABC seien die beiden Höhen CD‾\overline{CD} und AE‾\overline{AE} gegeben. Diese schneiden sich im Punkt MM. Es seien p=AM‾p=\overline{AM}, q=ME‾q=\overline{ME}, r=CM‾r=\overline{CM} und s=MD‾s=\overline{MD}. Man zeige, dass dann pq=rspq=rs gilt.

Lösung

Die Dreiecke ΔADM\Delta ADM und ΔCME\Delta CME sind ähnlich, denn sie stimmen in einem rechten Winkel und dem Scheitelwinkel ∠AMD=∠CME\angle AMD = \angle CME überein. Damit können wir den Strahlensatz anwenden und erhalten:
qs=rp\dfrac qs = \dfrac rp,
woraus sich unmittelbar die Behauptung pq=rspq=rs ergibt.
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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Das Dreieck