Lösungsstruktur linearer Differentialgleichungen erster Ordnung

Die homogene lineare Differentialgleichung $y'+g(x)y=0$ hat Lösungen der Gestalt $y=Cy_h$, wobei $y_h$ eine spezielle Lösung ist.

Die Menge aller Lösungen der homogenen Gleichung besteht aus allen Vielfachen einer speziellen Lösung. Formulieren wir dies in der Sprache der linearen Algebra, so ist die Lösungsmenge ein eindimensionaler linearer Teilraum des Vektorraums aller Funktionen $f:\R\to\R$.

Die Lösung der inhomogenen Gleichung $y'+g(x)y=h(x)$ kann in der Form $y=Cy_h+{y_h\int\limits \dfrac {h(x)} {y_h}\d x}$ $=Cy_h+y_s$ geschrieben werden, wobei $y_s$ eine beliebige spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist.

Hiervon überzeugt man sich durch Einsetzen. $y=Cy_h+y_s$ $\implies y'=Cy'_h+y'_s$ $y'+g(x)y=Cy'_h+y'_s+g(x)y$ $=Cy'_h+y'_s+g(x)(Cy_h+y_s)$ $=C\underbrace{(y'_h+g(x)y_h)}_{=0}+\underbrace{y'_s+g(x)\, y_s}_{=h(x)}$ $=h(x)$.

Die Lösungen der inhomogen Gleichung können als eine Gerade im Vektorraum der Funktionen aufgefasst werden.

Bezeichnen wir mit $\sb C_1$ den Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen und mit $\sb C$ die stetigen Funktionen, so können wir lineare Operatoren $A: \sb C_1\to \sb C$ betrachten, für die $Ay=h$ gilt. Dabei ist dann als $A:=y'+gy$ definiert. Das Lösen der linearen Differentialgleichung wird dadurch auf eine lineare Gleichung in entsprechenden Vektorräumen zurückgeführt.