Beispiel

Beispiel 168P

y′=x+y−1y'=x+y-1 lässt sich als y′−y=x−1y'-y=x-1 schreiben und ist damit sofort als lineare Differentialgleichung erkennbar.
Die homogene Gleichung y′−y=0y'-y=0 können wir sofort durch "Ansehen" lösen: y=Ce⁡xy=C\e^x.
Variation der Konstanten: y=C(x)e⁡xy=C(x)\e^x und y′=C′(x)e⁡x+C(x)e⁡xy'=C'(x)\e^x+C(x)\e^x führt eingesetzt auf die Gleichung
C′(x)e⁡x=x−1C'(x)\e^x=x-1
C(x)=∫x−1e⁡xd⁡xC(x)=\int\limits \dfrac {x-1}{\e^x}\d x =∫(x−1)e⁡−xd⁡x=\int\limits (x-1)\e^{-x}\d x
=−(x−1)e⁡−x+∫e⁡−xd⁡x=-(x-1)\e^{-x}+\int\limits\e^{-x}\d x (partielle Integration)
=−(x−1)e⁡−x−e⁡−x+D=-(x-1)\e^{-x}-\e^{-x}+D =−xe⁡−x+D=-x\e^{-x}+D
Als allgemeine Lösung erhalten wir damit y=e⁡x(−xe⁡−x+D)=De⁡x−xy=\e^x(-x\e^{-x}+D)=D\e^x-x.
Für D=0D=0 ergibt sich die spezielle Lösung y=−xy=-x.
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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