Kriterium für exakte Differentialgleichungen

Die Exaktheit einer DGL kann mittels folgendem einfachen Kriterium überprüft werden.

Satz 167V (Kriterium für exakte Differentialgleichungen)

Bei p(x,y)+y′q(x,y)=0p(x,y)+y'q(x,y)=0 handelt es sich genau dann um eine exakte Differentialgleichung, wenn ∂p∂y=∂q∂x\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial q}{\partial x} gilt.

Beweisskizze

  ⟹  \implies: Ist die DGL exakt, so gilt p(x,y)=∂F(x,y)∂xp(x,y)=\dfrac {\partial F(x,y)} {\partial x} und q(x,y)=∂F(x,y)∂yq(x,y)=\dfrac {\partial F(x,y)} {\partial y} für ein F(x,y)F(x,y). Damit ist
∂p∂y=∂2F(x,y)∂x∂y\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac {\partial^2 F(x,y)} {\partial x\partial y} und ∂q∂x=∂2F(x,y)∂y∂x\dfrac{\partial q}{\partial x}=\dfrac {\partial^2 F(x,y)} {\partial y\partial x}. Nach dem Satz von Schwarz stimmen die partiellen Ableitungen überein, und daher gilt die Behauptung.
⇐\Leftarrow: Das Kurvenintegral zweiter Art der Form ∫p(x,y)d⁡x+q(x,y)d⁡y\int\limits p(x,y)\d x+q(x,y) \d y ist unter den angegebenen Voraussetzungen wegunabhängig und ergibt genau die Lösungsfunktion F(x,y)F(x,y). □\qed

Bemerkungen

Für einen exakten Beweis müssten die Voraussetzungen für den Satz genauer formuliert werden. Die Behauptung gilt nur für einfach zusammenhängende Gebiete und die Existenz der entsprechenden Ableitungen in diesen Gebieten muss gewährleistet sein.
Alle DGL mit getrennten Variablen sind exakt:
y′=g(x)⋅h(y)y'=g(x)\cdot h(y)   ⟹  \implies −g(x)+1h(y)y′=0-g(x)+\dfrac 1 {h(y)} y'=0
∂g(x)∂y=∂∂x 1h(y)=0\dfrac{\partial g(x)}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\, \dfrac 1 {h(y)}=0
 
 

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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