Kurvenintegrale

Sei $\gamma\subset\Rn$ ein stückweise glattes Kurvenstück mit den Anfangs- und Endpunkten $A$ und $B$. $f:\Rn\to\R$ sei eine Funktion mehrerer Veränderlicher, die auf dem Gebiet $G\supset\gamma$ definiert und auf $\gamma$ beschränkt ist.

Ist $\gamma(s)=(\gamma_1(s),\dots,\gamma_n(s))$ eine Parameterdarstellung mit der Bogenlänge $s$ als natürlichen Parameter und $A=\gamma(a)$ sowie $B=\gamma(b)$, so definieren wir das Kurvenintegral erster Art folgendermaßen

durch Rückführung auf ein bestimmtes Integral. Kurvenintegrale werden vor allem in der Physik auch als Wegintegrale bezeichnet.

Das bestimmte Integral (1) summiert gerade die Funktionswerte von $f$ entlang der Kurve $\gamma$ auf.

Ist $\gamma=\gamma(t)$ nach einem beliebigen Parameter $t$ parametrisiert, so berechnet sich das Kurvenintegral erster Art mittels

Wir betrachten die konstante Funktion $f(x,y)=h$ und wollen für diese das Kurvenintegral über den Kreis mit dem Radius $r$ um die Ursprung berechnen. Der Kreis hat die Parameterdarstellung $x=r\cdot\cos t$ und $y=r\cdot\sin t$ (Formel 15VS).

Es ist $x'(t)=-r\cdot\sin t$ und $y'(t)=r\cdot\cos t$ und damit $||\gamma'(t)||=\sqrt{r^2\cos^2 t+r^2\sin^2 t}=r$.

Dann ist $\int\limits_{(\gamma)} f(x) \d s= \int\limits_0^{2\pi} hr\d t$ $=\ntxbraceIC{hrt}_0^{2\pi}=2\pi hr$.

Der Wert entspricht genau der Mantelfläche eines Kreiszylinders mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$, was nicht weiter erstaunlich ist. Wir haben durch das Kurvenintegral ja gerade die Fläche unter einer Kreislinie, die in der Höhe $h$ über der xy-Ebene "schwebt", bestimmt.