Spezielle Differentialgleichungen

Differentialgleichungen der Gestalt
y′=f(ax+by+cdx+ey+f)y'=f\braceNT{\dfrac {ax+by+c}{d x+e y+f}}
lassen sich auf DGL mit getrennten Variablen zurückführen.

Spezielle Fälle

Für d=e=0d=e=0, f≠0f\neq 0 kann die DGL in die Form y′=f(ax+by+c)y'=f(ax+by+c) gebracht werden und mittels der Substitution z=ax+by+cz=ax+by+c gelöst werden (siehe DGL Typ 167F).
Für a=c=e=f=0a=c=e=f=0 kann die DGL auf die Form y′=f (yx)y'=f\, \braceNT{ \dfrac y x} gebracht werden. Diese Ähnlichkeitsdifferentialgleichung wird mittels der Substitution z=yxz=\dfrac y x gelöst.
Fall det⁡(abde)=ae−bd=0\det \pmatrix{ a & b \\ d & e} =ae-bd=0. Falls d=e=0d=e=0 haben wir wieder eine DGL der Form y′=f(ax+by+c)y'=f(ax+by+c) (Typ 167F); andernfalls gibt es ein λ≠0\lambda\neq 0 mit a=λda=\lambda d und b=λeb=\lambda e. Dann ist
ax+by+cdx+ey+f=λdx+λey+cdx+ey+f\dfrac {ax+by+c}{d x+e y+f}=\dfrac {\lambda dx+\lambda ey+c}{d x+e y+f} =λ+c−λfdx+ey+f=\lambda + \dfrac {c-\lambda f}{d x+e y+f}
Damit haben wir die DGL auf die Form y′=f(ax+by+c)y'=f(ax+by+c) (Typ 167F) zurückgeführt.

Allgemeiner Fall

det⁡(abde)=ae−bd≠0\det \pmatrix { a & b \\ d & e}=ae-bd\neq 0. Es gibt dann eine Lösung (x1,y1)(x_1,y_1) des Gleichungssystems und wir verwenden die Substitution x^=x−x1\hat x=x-x_1 und y^=y−y1\hat y=y-y_1. Damit ist ax+by+cdx+ey+f=ax^+by^dx^+ey^\dfrac {ax+by+c}{d x+e y+f}=\dfrac {a\hat x+b\hat y}{d\hat x+e\hat y} und wegen y^′=d⁡y^d⁡x^=d⁡y^d⁡x⋅d⁡xd⁡x^\hat y'=\dfrac {\d \hat y} {\d \hat x}=\dfrac {\d \hat y} {\d x}\cdot \dfrac {\d x} {\d \hat x} =d⁡(y−y1)d⁡x⋅1=y′=\dfrac {\d (y-y_1)} {\d x}\cdot 1=y', erhalten wir
y^′=f(ax^+by^dx^+ey^)\hat y'=f\braceNT {\dfrac {a\hat x+b\hat y}{d\hat x+e\hat y}}
Nach Ausklammern von xx im Zähler und im Nenner erhalten wir eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung.
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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Gewöhnliche Differentialgleichungen