Integration von Funktionenklassen
Zusammensetzung von rationalen und Wurzelfunktionen
Sei
R ( x , y ) R(x,y) R ( x , y ) eine
rationale Funktion in
x x x und
y y y , (z.B.
R ( x , y ) = x 2 y + x y − y 2 2 x y − x 3 y + y R(x,y)=\dfrac{x^2y+xy-y^2}{2xy-x^3y+y} R ( x , y ) = 2 x y − x 3 y + y x 2 y + x y − y 2 ). Dann läßt sich das
Integral ∫ R ( x , a x + b c x + d n ) d x \int\limits R\left(x,\;\sqrtN{n}{\dfrac{ax+b}{cx+d}}\right) \; dx ∫ R ( x , n c x + d a x + b ) d x Beispiel
∫ 1 − x x + x d x \int\limits \dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\; dx ∫ x + x 1 − x d x . Hier ist
R ( x , y ) = 1 − y x + y R(x,y)=\dfrac{1-y}{x+y} R ( x , y ) = x + y 1 − y mit
y = x y=\sqrt x y = x , also:
a = d = 1 a=d=1 a = d = 1 und
b = c = 0 b=c=0 b = c = 0 .
Substitution :
t = x t=\sqrt{x}\quad t = x ⇒ x = t 2 \Rightarrow\quad x=t^2 \quad ⇒ x = t 2 ⇒ d x = 2 t d t \Rightarrow\quad dx=2t\; dt ⇒ d x = 2 t d t ⇒ ∫ 1 − x x + x d x \Rightarrow \; \int\limits \dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\; dx ⇒ ∫ x + x 1 − x d x = ∫ 1 − t t 2 + t ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 1 − t 1 + t d t = \int\limits \dfrac{1-t}{t^2+t}\cdot2t\; dt = 2\int\limits \dfrac{1-t}{1+t}\; dt = ∫ t 2 + t 1 − t ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 1 + t 1 − t d t = 2 ⋅ ∫ ( − 1 + 2 1 + t ) d t = 2\cdot\int\limits\left(-1+\dfrac{2}{1+t}\right)\, dt \, = 2 ⋅ ∫ ( − 1 + 1 + t 2 ) d t = − 2 t + 4 ln ∣ 1 + t ∣ + c =\, -2t+4\ln|1+t|+c = − 2 t + 4 ln ∣ 1 + t ∣ + c = − 2 x + 4 ln ( 1 + x ) + c =-2\sqrt{x}+4\ln\left(1+\sqrt{x}\right)+c = − 2 x + 4 ln ( 1 + x ) + c .
∫ R ( x , x 2 + a 2 ) d x \int\limits R( x,\; \sqrt{x^2+a^2} ) \; dx ∫ R ( x , x 2 + a 2 ) d x Beispiel
∫ x 2 + 1 x d x \int\limits \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} \; dx ∫ x x 2 + 1 d x Substitution und
Satz 5317A :
x = sinh t x = \sinh t \;\; x = sinh t ⇒ d x = cosh t d t \Rightarrow \; dx = \cosh t \; dt \; ⇒ d x = cosh t d t ,
x 2 + 1 \;\; x^2+1 x 2 + 1 = sinh 2 t + 1 = cosh 2 t = \sinh^2 t +1 = \cosh^2 t = sinh 2 t + 1 = cosh 2 t .
⇒ ∫ x 2 + 1 x d x = ∫ cosh t sinh t ⋅ cosh t d t \Rightarrow \; \int\limits \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x} \; dx = \int\limits \dfrac{\cosh t}{\sinh t} \cdot \cosh t \; dt ⇒ ∫ x x 2 + 1 d x = ∫ sinh t cosh t ⋅ cosh t d t = ∫ ( e t + e − t ) 2 2 ( e t − e − t ) d t = \int\limits \dfrac{(e^t+e^{-t})^2}{2(e^t - e^{-t})} \; dt = ∫ 2 ( e t − e − t ) ( e t + e − t ) 2 d t , was auf ein
Integral der Form
R ( e a x ) R(e^{ax}) R ( e a x ) (
Integraltyp 16QK ) führt.
∫ R ( x , x 2 − a 2 ) d x \int\limits R\left( x,\; \sqrt{x^2-a^2} \right) \; dx ∫ R ( x , x 2 − a 2 ) d x ∫ R ( x , a 2 − x 2 ) d x \int\limits R\left( x,\; \sqrt{a^2 - x^2} \right) \; dx ∫ R ( x , a 2 − x 2 ) d x Seien
a , b , c ∈ R a,b,c\in\R a , b , c ∈ R und
a ≠ 0 a\neq 0 a = / 0 . Betrachten wir nun das
Integral ∫ R ( x , a x 2 + b x + c ) d x \int\limits R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\; dx ∫ R ( x , a x 2 + b x + c ) d x Im Fall
b 2 = 4 a c b^2=4ac b 2 = 4 a c hat
a x 2 + b x + c ax^2+bx+c a x 2 + b x + c eine doppelte
Nullstelle und ist von der Form
a ( x − α ) 2 a(x-\alpha)^2 a ( x − α ) 2 . Dieser Integraltyp wurde oben diskutiert.
Sei nun
b 2 ≠ 4 a c b^2\neq 4ac b 2 = / 4 a c , dann hat
a x 2 + b x + c ax^2+bx+c a x 2 + b x + c keine doppelte
Nullstelle . Dann ist
a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x + c a ) ax^2+bx+c = a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right) a x 2 + b x + c = a ( x 2 + a b x + a c ) = a ( x 2 + b a x + b 2 4 a 2 + c a − b 2 4 a 2 ⎵ = : η ≠ 0 ) =a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}+\underbrace{\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}}_{=:\eta\neq 0}\right) = a ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ x 2 + a b x + 4 a 2 b 2 + = : η = / 0 a c − 4 a 2 b 2 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = a [ ( x + b 2 a ) 2 + η ] = a\left[ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\eta\right] = a [ ( x + 2 a b ) 2 + η ] (quadratische Ergänzung).
t = 1 ∣ η ∣ ( x + b 2 a ) t=\dfrac{1}{\sqrt{|\eta|}}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right) t = ∣ η ∣ 1 ( x + 2 a b ) in einen der folgenden Fälle
∫ R ~ ( t , t 2 + 1 ) d t \int\limits \tilde R\left(t,\sqrt{t^2+1}\right)\; dt ∫ R ~ ( t , t 2 + 1 ) d t a > 0 , η > 0 a>0,\; \eta>0 a > 0 , η > 0 ∫ R ~ ( t , t 2 − 1 ) d t \int\limits \tilde R\left(t,\sqrt{t^2-1}\right)\; dt ∫ R ~ ( t , t 2 − 1 ) d t a > 0 , η < 0 a>0,\; \eta<0 a > 0 , η < 0 ∫ R ~ ( t , 1 − t 2 ) d t \int\limits \tilde R\left(t,\sqrt{1-t^2}\right)\; dt ∫ R ~ ( t , 1 − t 2 ) d t a < 0 , η < 0 a<0,\; \eta<0 a < 0 , η < 0 Alle Fälle führen auf oben behandelte Integraltypen.
Der Fall
a < 0 , η > 0 a<0,\;\eta>0 a < 0 , η > 0 liefert
a x 2 + b x + c < 0 ax^2+bx+c<0 a x 2 + b x + c < 0 für alle
x ∈ R x\in\R x ∈ R , womit
a x 2 + b x + c \sqrt{ax^2+bx+c} a x 2 + b x + c nirgends definiert ist.
Beispiel
∫ x 2 + 4 x + 5 d x = ∫ ( x + 2 ) 2 + 1 d x \int\limits\sqrt{x^2+4x+5}\; dx =\int\limits \sqrt{(x+2)^2+1}\; dx ∫ x 2 + 4 x + 5 d x = ∫ ( x + 2 ) 2 + 1 d x ⇒ ∫ x 2 + 4 x + 5 d x = ∫ t 2 + 1 d t \Rightarrow\;\int\limits \sqrt{x^2+4x+5}\; dx=\int\limits \sqrt{t^2+1}\; dt ⇒ ∫ x 2 + 4 x + 5 d x = ∫ t 2 + 1 d t Nach
Beispiel 5319C gilt
∫ t 2 + 1 d x = t 2 1 + t 2 − 1 2 a r s i n h t \int\limits \sqrt{t^2+1}\; dx=\dfrac {t} 2 \sqrt{1+t^2 }-\dfrac {1} 2 \mathrm{arsinh} t ∫ t 2 + 1 d x = 2 t 1 + t 2 − 2 1 a r s i n h t .
Also
∫ x 2 + 4 x + 5 d x = x + 2 2 x 2 + 4 x + 5 + 1 2 a r s i n h ( x + 2 ) \int\limits \sqrt{x^2+4x+5}\; dx=\dfrac{x+2}2\sqrt{x^2+4x+5}+\dfrac {1} 2 \mathrm{arsinh }(x+2) ∫ x 2 + 4 x + 5 d x = 2 x + 2 x 2 + 4 x + 5 + 2 1 a r s i n h ( x + 2 ) .
Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.
Godfrey Harold Hardy
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