Integration von Funktionenklassen

Zusammensetzung von rationalen und trigonometrischen Funktionen

Sei

R

\int\limits R(\sin x,\cos x)\, dx

x=2\arctan (t)

(

dx = \dfrac{2}{1+t^2}\; dt

) auf die Integration rationaler Funktionen zurückgeführt werden. Wir benutzen die folgenden Identitäten (Satz 5220A und Satz 160W):

\sin(x) =2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)

=\dfrac{2\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}}

=\dfrac{2\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\dfrac{2t}{1+t^2}

\cos(x) =\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1-\tan^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\dfrac{1}{\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}

Für das Integral ergibt sich dann

\int\limits R(\sin x, \cos x)\; dx =\int\limits R\left(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)\dfrac{2}{1+t^2}\; dt

, womit es auf die Integration rationaler Funktionen zurückgeführt ist.

\int\limits \dfrac{1}{\cos (x)}\; dx=\int\limits \dfrac{1}{\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}\; dt

= 2\int\limits \dfrac{1}{1-t^2}\; dt=\int\limits \left(\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{1}{t-1}\right)\; dt

= \ln |1+t|-\ln|t-1|+c=\ln\left|\dfrac{t+1}{t-1}\right|+c= \ln\left|\dfrac{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+1}{\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)-1}\right|+c

\int\limits \dfrac{1}{\sin(x)} = \int\limits \dfrac{1+t^2}{2t} \cdot \dfrac{2}{1+t^2} \; dt = \ln |t| = \ln \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|

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Stephen Hawking

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