Additionstheoreme für Tangens und Kotangens

Satz 160W (Additionstheoreme für Tangens und Cotangens)

$\tan(x\pm y)=\dfrac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\, \tan y}$ und $\cot(x\pm y)=\dfrac{\cot x\, \cot y\mp 1}{\cot y\pm\cot x}$
$\tan 2x=\dfrac {2\tan x}{1-\tan^2x}=\dfrac 2 {\cot x-\tan x}$ und $\cot 2x=\dfrac {\cot^2x-1}{2\cot x}=\dfrac {\cot x-\tan x} 2$
$\tan x\pm \tan y=\dfrac{\sin(x\pm y)}{\cos x\, \cos y}$
$\cot x\pm \cot y=\dfrac{\sin(y\pm x)}{\sin x\, \sin y}$
$\cos^2x=\dfrac 1{1+\tan^2x}$ und $\sin^2x=\dfrac 1{1+\cot^2x}$

(i) Mittels Satz 5220A und Satz 5220C erhalten wir.

\tan(x\pm y)=\dfrac {\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}

=\dfrac {\sin x\, \cos y\pm \sin y\, \cos x}{\cos x\, \cos y\mp\sin x\, \sin y}

=\dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x}\, \dfrac{\cos y}{\cos y}\pm \dfrac{\sin y}{\cos y}\, \dfrac{\cos x}{\cos x}}{1\mp\dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin y}{\cos y}}

=\dfrac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\, \tan y}

\cot(x\pm y)=\dfrac 1 {\tan(x\pm y)}

=\dfrac {1\mp\tan x\, \tan y}{\tan x\pm\tan y}

=\dfrac{1\mp \dfrac 1{\cot x}\, \dfrac 1{\cot y}}{\dfrac 1{\cot x}\pm \dfrac 1{\cot y}}

=\dfrac{\cot x\, \cot y\mp 1}{\cot y\pm\cot x}

Die Beziehungen für den doppelten Winkel erhält man durch Einsetzen in das soeben Bewiesene.

(ii):

\tan x\pm \tan y= \dfrac{\sin x}{\cos x}\pm \dfrac{\sin y}{\cos y}

=\dfrac {\sin x\, \cos y\pm \sin y\, \cos x}{\cos x\, \cos y}

=\dfrac{\sin(x\pm y)}{\cos x\, \cos y}

. Kotangens analog.

(iii):

\dfrac 1{1+\tan^2x}

=\dfrac 1{1+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}}

=\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x+\cos^2x}=\cos^2x

. Kotangens analog.

\qed

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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