Integration von Funktionenklassen

Zusammensetzung von rationalen und Exponentialfunktionen

Sei RR eine rationale Funktion, a∈R∖{0}a\in\R\setminus \{0\}. Dann läßt sich das Integral
∫R(ea⋅x)  dx\int\limits R\left(e^{a\cdot x}\right)\; dx
durch die Substitution t=eaxt=e^{ax} (also x=1aln⁡tx=\dfrac{1}{a}\ln t und dx=1at  dtdx=\dfrac{1}{at}\; dt) zurückführen auf
∫R(t)⋅1at\int\limits R(t)\cdot\dfrac{1}{at},
was als gebrochen rationale Funktion zu integrierbar ist.
 
 

Beispiel

12⋅∫1cosh⁡(x)  dx \dfrac{1}{2} \cdot \int\limits\dfrac{1}{\cosh(x)}\; dx =∫1ex+e−x  dx = \int\limits \dfrac{1}{e^x+e^{-x}}\; dx =t=ex∫1t+1t⋅1t  dt=∫1t2+1  dt \underset{t=e^x}{=} \int\limits \dfrac{1}{t+\dfrac{1}{t}} \cdot \dfrac{1}{t} \; dt = \int\limits \dfrac{1}{t^2+1} \; dt =arctan⁡(ex)+c = \arctan(e^x) + c .

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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Unbestimmtes Integral