Koordinatentransformationen in der Ebene

Wir gehen bei der Transformation von üblichen rechtwinkligen Koordinatensystem aus.

Verschiebung

KoVer.png
Der Ursprung OO' des Koordinatensystems (O,x,y)(O',x',y') habe im Koordinatensystem (O,x,y)(O,x,y) die Koordinaten (ox,oy)(o_x,o_y). Die Achsen seien parallel.
Ein beliebiger Punkt AA mit den Koordinaten A(axay)A(a_x|a_y) im OO- Koordinatensystem hat dann im OO' Koordinatensystem die Koordinaten
A(ax,ay)=(axox,ayoy)A(a'_x,a'_y)=(a_x-o_x,a_y-o_y)
.
Diese Gleichung beschreibt den Übergang vom OO ins OO' System. In Vektorschreibweise: a=aoa'=a-o.
 
 

Drehung

KoDrehr.png
Seien nun die beiden Ursprünge identisch und die Achsen um den Winkel φ\phi gegen den Uhrzeigersinn gedreht.
Ein Punkt AA habe im x,yx,y-System die Koordinaten A(axay)A(a_x|a_y) und der Winkel mit der xx-Achse ist α\alpha. Dann gilt für die Koordinaten im x,yx',y'-System:
ax=acos(αφ)a'_x=||a||\cdot\cos(\alpha-\phi)
ay=asin(αφ)a'_y=||a||\cdot\sin(\alpha-\phi)
Nach Satz 5220A gilt dann:
ax=a(cosαcosφ+sinαsinφ)a'_x=||a||\cdot(\cos\alpha \cdot\cos\phi+ \sin\alpha \cdot\sin\phi) ay=a(sinαcosφcosαsinφ)a'_y=||a||\cdot(\sin\alpha\cdot\cos\phi - \cos\alpha\cdot\sin\phi).(1)
Im x,yx,y-System ist:
sinα=aya\sin\alpha=\dfrac {a_y}{||a||} cosα=axa\cos\alpha=\dfrac {a_x}{||a||}.
Setzen wir dies in (1) ein, so erhalten wir:
ax=axcosφ+aysinφa'_x=a_x \cdot\cos\phi+ a_y \cdot\sin\phi
ay=axsinφ+aycosφa'_y=-a_x \cdot\sin\phi+ a_y \cdot\cos\phi.
In Vektorschreibweise:
(axay)=(cosφsinφsinφcosφ)(axay)\pmatrix{{a'_x}\\ {a'_y}}=\pmatrix{{\cos\phi}&{\sin\phi} \\ {-\sin\phi}&{\cos\phi}} \pmatrix{{a_x}\\ {a_y}} .(2)
Die in (2) auftretende Matrix heißt Drehmatrix.

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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