Kollineationen

Eine bijektive Abbildung zwischen zwei Inzidenzebenen, die Geraden auf Geraden abbildet, also die Inzidenz erhält, heißt eine Kollineation. Zwei Inzidenzebenen heißen isomorph falls es eine Kollineation zwischen ihnen gibt. Sie sind dann strukturell nicht zu unterscheiden. Bei einer Kollineation einer Inzidenzebene auf sich selbst spricht man auch von einer Affinität.
Sind \(\displaystyle \bm A=(\pset P,\pset G)\) und \(\displaystyle \bm A'=(\pset P',\pset G')\) zwei Inzidenzebenen, dann ist eine bijektive Abbildung \(\displaystyle \varphi:\bm A\to\bm A'\) genau dann eine Kollineation, wenn für zwei verschiedene Punkte \(\displaystyle A,B\in\pset P\) (\(\displaystyle A\ne B\)) gilt:
\(\displaystyle \varphi(A\vgr B)=\varphi(A)\vgr\varphi(B)\),
 
 

Satz KL73

Eine bijektive Abbildung \(\displaystyle \phi\) ist genau dann eine Kollineation, wenn sie Geraden auf Geraden abbildet, also für alle \(\displaystyle g\in\pset G\) gilt: \(\displaystyle \varphi(g)=\{\varphi(P)\verts P\in g\}\).

Beweis

\(\displaystyle \Rightarrow\): Gelte \(\displaystyle \varphi(A\vgr B)=\varphi(A)\vgr\varphi(B)\) für alle Punkte \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und sein \(\displaystyle g\) eine Gerade und \(\displaystyle P\in g\) ein beliebiger Punkt auf ihr. Nach Inz2 gibt es einen weiteren Punkt \(\displaystyle Q\) auf dieser Geraden und \(\displaystyle g=P\vgr Q\), also \(\displaystyle \phi(g)=\phi(P\vgr Q)=\phi(P)\vgr \phi(Q)\), womit \(\displaystyle \phi(P)\in\phi(g)\) gezeigt ist.\(\displaystyle \Leftarrow\): Es gibt nach Inz2 zwei Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\), sodass \(\displaystyle g=A\vgr B\) und somit \(\displaystyle \phi(g)=\phi(A\vgr B)\). Nun gilt \(\displaystyle \phi(A)\in\phi(g)\) und \(\displaystyle \phi(B)\in\phi(g)\), wegen der Bijektivität außerdem \(\displaystyle \phi(A)\ne\phi(B)\) und damit \(\displaystyle \phi(g)=\phi(A)\vgr\phi(B)\), womit \(\displaystyle \phi(A\vgr B)=\phi(A)\vgr\phi(B)\) gezeigt ist. \(\displaystyle \qed\)

Satz DD15 (Umkehrung von Kollineationen)

Sind \(\displaystyle \mathbf A=(\pset P,\pset G)\) und \(\displaystyle \bm A'=(\pset P',\pset G')\) zwei Inzidenzebenen, dann ist mit \(\displaystyle \varphi:\pset P \to \pset P'\) auch ihre Umkehrung \(\displaystyle \phi^\me:\pset P'\to \pset P\) eine Kollineation.

Beweis

Sei \(\displaystyle g'\in\pset G'\) eine Gerade mit den beiden Punkten \(\displaystyle A'\) und \(\displaystyle B'\) (Inz2 sichert deren Existenz). Da \(\displaystyle \vphi\) bijektiv ist, gibt es verschiedene \(\displaystyle A,B\in\pset P\) mit \(\displaystyle \vphi(A)=A'\) und \(\displaystyle \vphi(B)=B'\). Für die Verbindungsgerade gilt: \(\displaystyle \vphi(A\vgr B)=\vphi(A)\vgr\vphi(B)=A'\vgr B'=g'\), also ist \(\displaystyle \vphi^\me(g')=\vphi^\me(\vphi(A\vgr B))=A\vgr B\). Die Abbildung \(\displaystyle \vphi^\me\) überführt damit ebenfalls Geraden in Geraden und ist als Umkehrung einer Bijektion ebenfalls bijektiv, also eine Kollineation.\(\displaystyle \qed\)

Satz ZR20 (Gruppe der Affinitäten)

Die Kollineationen einer Inzidenzebene \(\displaystyle \bf A\) in sich, also ihre Affinitäten bilden eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen. Das neutrale Element ist dabei die identische Abbildung \(\displaystyle \id\).Diese Gruppe wird die Automorphismengruppe von \(\displaystyle \bf A\) genannt und mit \(\displaystyle {\mathcal Aut } \bf A\) bezeichnet.

Beweis

Die Hintereinanderausführung von Abbildungen ist assoziativ und die identische Abbildung \(\displaystyle \id\) ist neutrales Element bezüglich dieser.Im Satz DD15 haben wir gezeigt, dass die Umkehrung eine Kollineation wieder eine Kollineation ist. Bleibt zu zeigen, dass die Hintereinanderausführung von zwei Kollineationen ebenso eine Kollineation ist. Seien \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) zwei verschiedene Punkte auf einer beliebigen Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle \vphi\) und \(\displaystyle \psi\) zwei Kollineation. Dann gilt \(\displaystyle \vphi(\psi(g))=\vphi(\psi(A\vgr B))\)\(\displaystyle =\vphi(\psi(A)\vgr\psi(B))=\vphi(\psi(A))\vgr\vphi(\psi(B))\).

Satz QV38

Sei \(\displaystyle \varphi\) eine Kollineation, dann gilt für beliebige Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\): aus \(\displaystyle g\para h\) folgt \(\displaystyle \varphi(g)\para\varphi(h)\).

Beweis

Für \(\displaystyle g=h\) gilt die Behauptung trivial. Sei also \(\displaystyle g\ne h\) und \(\displaystyle \varphi(g)\npara\varphi(h)\), dann gibt es einen Punkt \(\displaystyle P=\varphi(g)\cap \varphi(h)\), also gilt \(\displaystyle \varphi^{-1}(P)\in g,h\), im Widerspruch zu \(\displaystyle g\para h\). \(\displaystyle \qed\)

Beispiel (Automorphismengruppe der minimalen affinen Ebene)

In der minimalen affinen Ebene ist jede Permutation der vier Punkte eine Kollineation, da je zwei Punkte durch eine Gerade verbunden sind. Damit entspricht die Symmetriegruppe derjenigen des regulären Tetraeders, die bekanntlich die symmetrische Gruppe \(\displaystyle \bm S_4\) ist.

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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