Absolute Ebenen

Abstandsaxiome

Wir erweitern die Inzidenzebene um einige Axiomengruppen, um letztlich zur euklidischen Geometrie zu gelangen. Um sinnvoll "messen" zu können, versehen wir unsere Inzidenzebene zuerst mit einer Metrik, für die spezielle Eigenschaften gelten sollen.Sei im folgenden \(\displaystyle \bm I=(\pset P,\pset G)\) eine Inzidenzebene und \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) beliebige Punkte in ihr.
Abst1
\(\displaystyle \pset P\) ist ein metrischer Raum, d.h. es gibt eine Abbildung \(\displaystyle |\cdot |: \pset P\cross \pset P\to \R\) mit folgenden Eigenschaften:
  1. \(\displaystyle |AB|=0\) gdw. \(\displaystyle A=B\)
  2. \(\displaystyle |AB|=|BA|\) für alle Punkte \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) (Symmetrie)
  3. \(\displaystyle |AC|\le |AB|+|BC|\) für alle Punkte \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) (Dreiecksungleichung)
Abst2
Drei Punkte \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) sind genau dann kollinear, wenn eine der folgenden Gleichung gilt:
\(\displaystyle |BC|=|BA|+|AC|\) oder \(\displaystyle |AC|=|AB|+|BC|\) oder \(\displaystyle |AB|=|AC|+|CB|\).
 
 

Beispiel

Die Inzidenzebenen aus Beispiel AV45 können so erweitert werden, dass sie den Axiomen Abst1 und Abst2 genügen. Man definiert dazu den Abstand zweier Punkte als
\(\displaystyle |AB|=\left\{ \matrix {0 &\text{falls} & A=B\\ 1 &\text{falls}&A\ne B} \right. \).
Da alle Geraden zweielementige Mengen waren, besitzt das Axiom Abst2 keine Bedeutung.

Beispiel

Benutzt man in der euklidischen Koordinatenebene \(\displaystyle \R^2\) für zwei Punkte \(\displaystyle P=\evec{p_x}{p_y}\) und \(\displaystyle Q=\evec{q_x}{q_y}\) den euklidischen Abstand
\(\displaystyle |PQ|=\sqrt{(p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2}\)
so genügt dieser den Axiomen Abst1 und Abst2. Wir müssen dies nur für Abst2 zeigen, (für Abst1 siehe euklidische Metrik).

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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