Beispiele für Inzidenzebenen

Das Aufstellen von Axiomen sagt noch nichts über die Existenz der Objekte aus, für die die Axiome gelten sollen. Um sich hier nicht "festzufahren" ist es am besten ein Modell anzugeben, das die Axiome erfüllt. Dies wird in den folgenden Beispiel geschehen, womit wir dann auch gleichzeitig nachweisen, dass das Axiomensystem nicht "inhaltsleer" ist.

Die Anschauungsebene erfüllt alle drei Inzidenzaxiome und ist damit ein Beispiel einer Inzidenzebene mit unendlich vielen Punkten und Geraden. Eine Inzidenzstruktur muss nicht notwendig unendlich viele Punkte enthalten. Inz3 fordert aber, dass es mindestens drei Punkte gibt.

Bei der Darstellung endlicher Inzidenzstrukturen zeichnen wir die die Punkte in der Anschauungsebene. Sie werden durch Strecken oder allgemeine Kurven verbunden, um die Geraden anzudeuten. Die Geraden gehen ausschließlich durch die hervorgehobenen Punkte. Sollte es weitere Schnittpunkte in der Anschauungsebene geben, so sind diese normalerweise keine Punkte unserer Inzidenzstrukturen, es sei denn sie sind als solche gekennzeichnet.

Wir können zu jeder endlichen Menge (mit mindestens drei Elementen) eine Inzidenzstruktur konstruieren. Sei $\pset M$ eine beliebige Menge mit $\card{\pset M}\ge3$. Diese Elemente seien unsere Punkte. Wir wählen als Geraden die Menge aller zweielementigen Teilmengen von $\pset M$. Es ist Inz1 erfüllt, da es für je zwei Elemente aus $x,y\in M$ genau eine zweielementige Teilmenge $\{x,y\}\subseteq\pset M$ gibt. Und nach Definition enthält auch jede Gerade mindestens zwei Punkte, womit Inz2 erfüllt ist. Seien nun $x,y,z\in\pset M$ drei beliege verschiedene Punkte, dann können diese nicht auf einer Geraden liegen, da ja unsere Geraden genau die zweielementigen Teilmengen von $\pset M$ waren, damit sind sogar alle Punktetripel in allgemeiner Lage.

Konkretisieren wir die Überlegungen aus dem vorherigen Beispiel für drei Punkte, so bekommen wir die minimale Inzidenzebene. Seien $A$, $B$ und $C$ unsere Punkte, dann erhalten wir die folgenden Geraden $g_{1}=\{A,B\}$, $g_{2}=\{B,C\}$ und $g_{3}=\{A,C\}$. Abb. 1 a) veranschaulicht diese Inzidenzebene. Nach obigen Überlegungen sind alle drei Inzidenzaxiome erfüllt, damit ist dieses System tatsächlich ein Modell für eine Inzidenzebene.

Wir können der Gerade $g_{3}$ einen weiteren Punkt $D$ hinzufügen und eine weitere Gerade $g_{4}=\{B,C\}$ hinzunehmen und erhalten so eine Inzidenzgeometrie, die eine Gerade mit drei Punkten enthält, wie in Abb. 1 b) argestellt. Die Inzidenzaxiome sind nach wie vor erfüllt.