Affine Koordinatenebenen

Sei \(\displaystyle \K\) ein beliebiger Körper und \(\displaystyle V=(\K^{2},\K)\) der kanonische zweidimensionale Vektorraum über \(\displaystyle \K\). Die Punkte seien die Elemente aus \(\displaystyle \K^{2}\) und die Geraden Teilmengen der Form
(1)
\(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b})=\{\vec{a}+t\vec{b}\verts\vec{a},\vec{b}\in\K^{2},t\in\K,\vec{b}\neq\vnull\}\).
Nach dieser Definition gilt \(\displaystyle \vec{a}\in g(\vec{a},\vec{b})\) (für \(\displaystyle t=0\)) und \(\displaystyle \vec{a}+\vec{b}\in g(\vec{a},\vec{b})\) (für \(\displaystyle t=1\)). Eine Struktur mit Punkten aus \(\displaystyle \K^2 \) und Geraden der Form (1) heißt Koordinatenebene.
Im weiteren werden wir jedoch eine Darstellung für Geraden bevorzugen, die an die Hessesche [1] Normalform angelehnt ist. Dazu definieren wir zuerst einen Normalenvektor.
 
 

Normalenvektoren

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Veranschaulichung des Normalenvektors
Im zweidimensionalen Vektorraum \(\displaystyle V=(\K^{2},\K)\) definieren wir zu einem Vektor \(\displaystyle \vec{a}=\evec{a_{x}}{a_{y}}\) den Normalenvektor \(\displaystyle \voc a=\evec{-a_{y}}{a_{x}}\). Anschaulich entspricht dies im \(\displaystyle \R^{2}\) einer Drehung um den Ursprung um \(\displaystyle 90°\) entgegen dem Uhrzeigersinn (vgl. Abb. ). Die Ursprungsgeraden durch \(\displaystyle \vec{a}\) und \(\displaystyle \vec{a}\oc\) stehen senkrecht aufeinander. Das gewählte Symbol \(\displaystyle \oc\) soll dies andeuten.
Gleichwertige Resultate würden wir erzielen, hätten wir \(\displaystyle \evec{a_{y}}{-a_{x}}\) als Normalenvektor gewählt. Wir haben uns jedoch für diese Definition entschieden, da sie einer Drehung in mathematisch positiven Drehsinn entspricht.

Satz UB20 (Eigenschaften der Normalenvektoren)

Seien \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\vec{c}\in\K^{2}\) und \(\displaystyle \alpha,\beta,\lambda\in\K\). Dann gilt:
  1. \(\displaystyle \oc:\K^{2}\to\K^{2}\) ist eine lineare Abbildung, also \(\displaystyle (\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\oc=\alpha\voc a+\beta\voc b\)
  2. \(\displaystyle {\vec{a}}\occ=-\vec{a}\)
  3. \(\displaystyle \la{\voc a},{\vec{b}}\ra=-\la{\vec{a}},{\voc b}\ra\), speziell \(\displaystyle \scprod{\voc a}{\vec{a}}=\la{\vec{a}},{\voc a}\ra=\vnull\)
  4. \(\displaystyle \la{\vec{a}},{\voc b}\ra=0\)} gdw. es gibt ein \(\displaystyle 0\ne\lambda\in\K\) mit \(\displaystyle \vec{b}=\lambda\vec{a}\), falls \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\ne\vnull\)
  5. \(\displaystyle \la\vec{a},\voc b\ra\vec{c}+\la\vec{b},\voc c\ra\vec{a}+\la\vec{c},\voc a\ra\vec{b}=\vnull\)
[!Punkt] (v) ist eine andere Formulierung für: je drei Vektoren sind linear abhängig. Wir können also mit Hilfe von Normalenvektoren auf einfache Weise eine Linearkombination für drei Vektoren ausdrücken.

Beweis

Der Beweis von (i) - (iii) und (v) ist durch einfaches Einsetzen der Definition und Ausrechnen zu führen und sei dem Leser überlassen.
(iv) Sei \(\displaystyle \la{\vec{a}},{\voc b}\ra=0\), dann gilt nach Definition \(\displaystyle a_{x}b_{y}=a_{y}b_{x}\). Wir müssen zeigen, dass ein \(\displaystyle \lambda\ne0\) existiert mit \(\displaystyle b_{x}=\lambda a_{x}\) und \(\displaystyle b_{y}=\lambda a_{y}\). Im Fall \(\displaystyle a_{x}=0\) gilt \(\displaystyle 0=a_{y}b_{x}\) und da wegen \(\displaystyle \vec{a}\ne\vnull\) nun \(\displaystyle a_{y}\ne0\) gilt, ist \(\displaystyle b_{x}=0\). Da \(\displaystyle b_{y}\ne0\) ist mit \(\displaystyle \lambda=\frac{b_{y}}{a_{y}}\) die Behauptung erfüllt. Im Fall \(\displaystyle a_{x}\ne0\) gilt \(\displaystyle b_{y}=\frac{b_{x}}{a_{x}}a_{y}\) und wir wählen \(\displaystyle \lambda=\frac{b_{x}}{a_{x}}\) und Behauptung ist erfüllt, da notwendigerweise \(\displaystyle b_{x}\ne0\).
Nun gelte \(\displaystyle \vec{b}=\lambda\vec{a}\) mit \(\displaystyle \lambda\ne0\), also \(\displaystyle \la{\vec{a}},{\voc b}\ra=\la{\vec{a}},{(\lambda\vec{a)}\oc}\ra=\lambda\scprod{\vec{a}}{\voc a}=0\), wobei wir (iii) benutzt haben. \(\displaystyle \qed\)Wir führen nun eine weitere Geradendefinition ein. Für \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\in\K^{2}\) wobei \(\displaystyle \vec{b}\ne\vnull\) sei die Gerade \(\displaystyle \hat{g}(\vec{a},\vec{b})\) definiert durch
\(\displaystyle \hat{g}(\vec{a},\vec{b})=\{\vec{x}\in\K^{2}\verts\scprod{\vec{x}}{\voc b}=\scprod{\vec{a}}{\voc b}\} \)
Es gilt also für \(\displaystyle \vec{x}\in\K^{2}:\vec{x}\in\hat{g}(\vec{a},\vec{b})\)\(\displaystyle \iff\la{\vec{x}},{\voc b}\ra=\la{\vec{a}},{\voc b}\ra\)\(\displaystyle \iff\la\vec{x}-\vec{a},\voc b\ra=0\).
Da die rechte Seite eine Zahl aus \(\displaystyle \K\) ist, handelt es sich bei dieser Definition faktisch um die Hessesche Normalform einer Geraden. Der Vorteil dieser Geradendefinition gegenüber der von (1) ist, dass sie ohne einen Parameter \(\displaystyle t\) auskommt und nur mit den Vektoren aus \(\displaystyle \K^{2}\), dem Skalarprodukt und dem Normalenvektor formuliert werden kann. Beide Definitionen sind jedoch gleichwertig.

Satz IU75

Sei \(\displaystyle \hat{g}(\vec{a},\vec{b})\) eine Gerade. Dann gilt \(\displaystyle \hat{g}(\vec{a},\vec{b})=\{\vec{a}+\lambda\vec{b}\verts\lambda\in\K\}\). Speziell \(\displaystyle \vec{a}\in\hat{g}(\vec{a},\vec{b})\) für \(\displaystyle \lambda=0\) und \(\displaystyle \vec{a}+\vec{b}\in\hat{g}(\vec{a},\vec{b})\) für \(\displaystyle \lambda=1\). Damit ist \(\displaystyle \hat{g}(\vec{a},\vec{b})\)=\(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b})\).

Beweis

Es gilt offensichtlich \(\displaystyle \vec{a}\in{g}(\vec{a},\vec{b})\) und \(\displaystyle \vec{a}\in\hat{g}(\vec{a},\vec{b})\). Sei nun \(\displaystyle \vec{x}\ne\vec{a}\). dann ergibt sich mit Satz UB20 (iv): \(\displaystyle \vec{x}=\vec{a}+t\vec{b}\) für ein \(\displaystyle t\neq0\) \(\displaystyle \iff\vec{x}-\vec{a}=t\vec{b}\) \(\displaystyle \iff\scprod{\vec{x}-\vec{a}}{\voc b}=\scprod{t\vec{b}}{\voc b}=0\) \(\displaystyle \iff\scprod{\vec{x}}{\voc b}=\scprod{\vec{a}}{\voc b}\) \(\displaystyle \iff\vec{x}\in\hat{g}(\vec{a},\vec{b})\). \(\displaystyle \qed\)
Da nun \(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b})=\hat{g}(\vec{a},\vec{b})\) gilt und keine Verwechslungen zu befürchten sind, schreiben wir nun stets \(\displaystyle g\) für \(\displaystyle \hat{g}\).

Satz HT65

Jede Koordinatenebene ist eine Inzidenzebene. Dabei sind die Punkte die Elemente aus \(\displaystyle \K^{2}\) und die Geraden alle \(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b})=\{\vec{x}\in\K^{2}\verts\scprod{\vec{x}}{\voc b}=\scprod{\vec{a}}{\voc b}\}\) für \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\in\K^{2}\) mit \(\displaystyle \vec{b}\ne\vnull\).

Beweis

Inz1: Seien \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\in\K^{2}\) , wir zeigen, dass \(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b}-\vec{a})\) die von \(\displaystyle \vec{a}\) und \(\displaystyle \vec{b}\) eindeutig bestimmte Gerade ist. Nach Definition handelt es sich um eine Gerade. Nach Satz IU75 gilt \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\in g(\vec{a},\vec{b}-\vec{a})\).Bleibt nachzuweisen, dass \(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b}-\vec{a})\) eindeutig bestimmt ist. Angenommen \(\displaystyle g(\vec{c},\vec{d})\) ist eine andere Gerade, die sowohl \(\displaystyle \vec{a}\) als auch \(\displaystyle \vec{b}\) enthält. Dann gilt zunächst \(\displaystyle \la\vec{a},\voc d\ra=\la\vec{b},\voc d\ra=\la\vec{c},\voc d\ra\) und damit \(\displaystyle \la\vec{b}-\vec{a},\voc d\ra=0\) und nach Satz UB20 gibt es ein \(\displaystyle \lambda\ne0\), sodass \(\displaystyle \vec{b}-\vec{a}=\lambda\vec{d}\).Sei nun \(\displaystyle \vec{x}\in\K^{2}\) ein beliebiger Punkt auf der Geraden \(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b}-\vec{a})\). Dann gilt folgende Äquivalenzkette: \(\displaystyle \vec{x}\in g(\vec{a},\vec{b}-\vec{a})\) \(\displaystyle \iff\la\vec{x}-\vec{a},(\vec{b}-\vec{a})\oc\ra=0\) \(\displaystyle \iff\la\vec{x}-\vec{a},(\lambda\vec{d})\oc\ra=0\) \(\displaystyle \iff\la\vec{x}-\vec{a},\voc d\ra=0\) \(\displaystyle \iff\la\vec{x},\voc d\ra=\la\vec{}a,\voc d\ra=\la\vec{c},\voc d\ra\) \(\displaystyle \iff\vec{x}\in g(\vec{c},\vec{d})\). Daher gilt \(\displaystyle \vec{x}\in g(\vec{a},\vec{b}-\vec{a})=g(\vec{c},\vec{d})\) und die die von \(\displaystyle \vec{a}\) und \(\displaystyle \vec{b}\) bestimmte Gerade ist eindeutig, womit Inz1 nachgewiesen wäre.
Inz2 ist trivial erfüllt und wir haben in Satz IU75 auch schon die zwei Punkte angegeben, die stets auf einer Geraden\(\displaystyle g(\vec{a},\vec{b})\) liegen: \(\displaystyle \vec{a}\) und \(\displaystyle \vec{a}+\vec{b}\).
Inz3: Sei nun \(\displaystyle \vec{a}=\evect00\), \(\displaystyle \vec{b}=\evect01\) und \(\displaystyle \vec{c}=\evect10\). Dann sind diese drei Punkte verschieden, da in jedem Körper \(\displaystyle 0\ne1\) gilt. Wir zeigen dass sie auch nicht kollinear sind. Angenommen \(\displaystyle \vec{c}\in g(\vec{a},\vec{b}-\vec{a})\), dann gilt nach Satz IU75 für ein \(\displaystyle \lambda\in\K\): \(\displaystyle \evect10=\evect00+\lambda\evect01=t\evect01\), also \(\displaystyle 1=\lambda\cdot0\), was für kein \(\displaystyle \lambda\in\K\) erfüllt ist. Damit ist die Annahme, dass \(\displaystyle \vec{c}\) auf der Geraden durch \(\displaystyle \vec{a}\) und \(\displaystyle \vec{b}\) liegt, widerlegt. \(\displaystyle \qed\)
 
1   Otto Hesse 1811-1874

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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