Beispiele affiner Koordinatenebenen

Wie sieht die kleinste affine Koordinatenebene aus? Sei $\K=\GF(2)$ der Galoiskörper mit zwei Elementen $0$ und $1$, der kleinst mögliche Körper überhaupt. Wir betrachten den Vektorraum $(\K^{2},\K)$. Es gibt genau vier Punkte: $\vec{a}=\evect00$, $\vec{b}=\evect01$, $\vec{c}=\evect10$ und $\vec{d}=\evect11$ und die sechs Geraden sind dann $g_{1}=\{\vec{a},\vec{b}\}$, $g_{2}=\{\vec{a},\vec{c}\}$, $g_{3}=\{\vec{a},\vec{d}\}$, $h_{1}=\{\vec{c},\vec{d}\}$, $h_{2}=\{\vec{b},\vec{d}\}$ und $g_{3}=\{\vec{b},\vec{c}\}$. Abb. 1 a) veranschaulicht diese affine Koordinatenebene; wobei sich die Geraden $g_{3}$ und $h_{3}$ natürlich nicht schneiden. Dies wird durch die Umordnung der Punkte in Abb. 1 b) deutlich. Diese Struktur ist isomorph zur minimalen affinen Ebene aus Beispiel UI60 gefunden. Nach ??? ist dies kein Zufall ist, denn jede affine Koordinatenebene ist eine affine Ebene.

Wir erhalten die euklidische Ebene als affine Ebene $\R^{2}$ über dem Körper $\R$.

Betrachten wir nun den Körper der komplexen Zahlen $\C$ als Vektorraum über $\R$ so erhalten wir eine zur euklidischen Ebene identische (=isomorphe) affine Ebene. Denn bis auf Isomorphie gibt es nur einen zweidimensionalen Vektorraum über $\R$.

Anders liegt der Fall beim Vektorraum $(\C^{2},\C)$. Dieser liefert ebenfalls eine affine Koordinatenebene, die sich jedoch von der euklidischen Ebene unterscheidet.