Weitere Sätze über Inzidenzebenen

Zunächst charakterisieren wir die Gleichheit von Verbindungsgeraden.

Satz WI24

Für drei verschiedene Punkte \(\displaystyle A,B,C\) einer Inzidenzebene sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent
  1. \(\displaystyle C\) liegt auf der Geraden durch \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\): \(\displaystyle C\in A\vgr B\).
  2. Die Verbindungsgeraden von \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) und von \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle C\) sind gleich: \(\displaystyle A\vgr B=A\vgr C\).

Beweis

(i) \(\displaystyle \implies\) (ii): Sei \(\displaystyle C\in A\vgr B=g\), dann geht die Gerade \(\displaystyle g\) durch \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle C\) und mit Inz1 gilt: \(\displaystyle g=A\vgr B=A\vgr C\).(ii) \(\displaystyle \implies\) (i): Aus \(\displaystyle A\vgr B=A\vgr C\) folgt \(\displaystyle C\in A\vgr C=A\vgr B\), also gilt (i). \(\displaystyle \qed\)
Geraden können auch keinen echten "Teilgeraden" enthalten, denn es gilt:
 
 

Satz NF12

Seien \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) zwei Geraden einer Inzidenzebene. Dann folgt aus \(\displaystyle g\subseteq h\) bereits \(\displaystyle g=h\).Für zwei verschiedene Geraden \(\displaystyle g\) und \(\displaystyle h\) gibt es also stets einen Punkt, der auf der einen, aber nicht auf der anderen Geraden liegt.

Beweis

Seien nach Inz2 \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) zwei verschiedene Punkte der Geraden \(\displaystyle g\), dann liegen diese auch auf \(\displaystyle h\) und es gilt mit Inz1 \(\displaystyle g=A\vgr B=h\). \(\displaystyle \qed\)

Satz CB36

In jeder Inzidenzebene gilt:
  1. Für jede Gerade gibt es einen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt.
  2. Für jeden Punkt gibt es eine Gerade, die nicht durch diesen Punkt geht.

Beweis

(i): Angenommen (i) gilt nicht, dann muss es eine Gerade geben, die alle Punkte enthält. Damit gibt es im Widerspruch zu Inz3 aber keine drei Punkte in allgemeiner Lage.
(ii): Zur Veranschaulichung verfolge man die Beweisschritte in Abb. 1.
Zupugr.png
Abb. 1: Zum Beweis von Satz CB36 (ii). Punkt \(\displaystyle A\) liegt nicht auf der Geraden durch die Punkte \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\)
Sei \(\displaystyle A\) ein Punkt, dann gibt es nach Inz3 einen weiteren von \(\displaystyle A\) verschiedenen Punkt \(\displaystyle B\) und nach Inz1 die eindeutig von ihnen bestimmte Verbindungsgerade \(\displaystyle A\vgr B\). Nach (i) gibt es dann einen Punkt \(\displaystyle C\), der nicht auf \(\displaystyle A\vgr B\) liegt. Das bedeutet aber nach Satz WI24, dass \(\displaystyle A\vgr B\) und die Verbindungsgerade \(\displaystyle B\vgr C\) verschieden sind. Wegen Satz F1UF liegt damit \(\displaystyle A\) dann aber nicht auf \(\displaystyle B\vgr C\), womit wir eine Gerade gefunden haben, die \(\displaystyle A\) nicht enthält. \(\displaystyle \qed\)
Damit haben wir in Inzidenzgeometrien eine gewisse Vielfalt. Es liegen nicht alle Punkte auf einer Geraden und nicht alle Geraden gehen durch einen Punkt.

Satz NM69 (Unabhängigkeit der Inzidenzaxiome)

Die drei Inzidenzaxiome Inz1-Inz3 sind voneinander unabhängig.

Beweis

Wir beweisen dies, indem wir ein Beispiel für eine Struktur angeben, die jeweils zwei der Axiome erfüllt, das dritte jedoch nicht.
UnabhInz.png
Abb. 2: Unabhänigkeit der Inzidenzaxiome a) Inz1 verletzt, b) Inz2 verletzt, c) Inz3 verletzt
Die isolierten drei Punkte aus Abb. 2 a) liefern ein Beispiel, wo Inz1 nicht erfüllt ist, jedoch die beiden anderen Axiome.
Abb. 2 b) zeigt ein Beispiel, wo Inz2 verletzt ist. Auf der Geraden \(\displaystyle g\) liegt nur der eine Punkt \(\displaystyle B\).
Abb. 2 c) zeigt ein Beispiel, wo Inz3 verletzt ist, da es nur die beiden Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) gibt.
Die beiden anderen Axiome sind in allen Beispielen jeweils erfüllt, wovon man sich leicht überzeugt, da es sich um endliche Strukturen mit wenigen Punkten handelt. \(\displaystyle \qed\)

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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