Lineare Abbildungen und Matrizen

Seien $V$ und $W$ zwei endlich dimensionale Vektorräume über dem Körper $K$, dann können wir jeder linearen Abbildung aus $\Hom(V,W)$ in natürlicher Art eine Matrix zuordnen. Habe $V$ die Dimension $n$ und $B=(v_1,\ldots, v_n)$ sei eine Basis von $V$ und es gelte $\dim W= m$ und $C=(w_1,\ldots, w_m)$ sei eine Basis von $W$. Für die lineare Abbildung $f\in \Hom(V,W)$ definieren wir nun die von den Basen $B$ und $C$ abhängige Matrix $M_B^C(f)\in \Mat(m\cross n,K)$ wie folgt. Das Bild des $j$-ten Basisvektors aus $B$ habe die Basisdarstellung

bezüglich $C$. Die Koeffizienten $(a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj})$ sollen genau die $j$-te Spalte der Matrix

bilden. Diese Matrix heißt die Darstellungsmatrix oder auch Abbildungsmatrix der Abbildung $f$ bezüglich der Basen $B$ und $C$. Sind die Basen gleich, schreibt man auch $M_B(f)$ und ist die Basis eindeutig bestimmt oder die Standardbasis, so schreibt man $M(f)$.

Dei durch (2) definierte Abbildung zwischen $\Hom(V,W)$ und $\Mat(m\cross n,K)$ ist ein Vektorraumisomorphismus

Die Linearität der Abbildung ergibt sich aus den Vektorraumeigenschaften von $\Mat(m\cross n,K)$ (Bemerkung 15YI).

Wir finden zu jeder Matrix eine lineare Abbildung, daher ist die Zuordnung surjektiv.

Die Injektivität ergibt sich mit Satz 15XH aus der Eindeutigkeit der Basisdarstellung, die sicherstellt, dass nur der Nullabbildung die Nullmatrix zugeordnet wird. $\qed$

Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$. Dann gilt:

Damit ist insbesondere auch $\Hom(V,W)$ endlichdimensional.

Es gelte $\dim V=n$ und $\dim W=m$. Nach Satz 15XX ist $\Hom(V,W)$ isomorph zu $\Mat(m\cross n,K)$. Nach Bemerkung 15YI hat $\Mat(m\cross n,K)$ die Dimension $m\cdot n$ und nach dem Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume gilt dann: $\dim\Hom(V,W)=\dim V\cdot \dim W$. $\qed$

Bei festgehaltenen Basen bestimmt jede lineare Abbildung $f:V\to W$ eine Darstellungsmatrix und jede Matrix $A\in\Mat(m\cross n,K)$ bestimmt eine lineare Abbildung, deren Darstellungsmatrix genau mit $A$ identisch ist.