Invertierbare Matrizen

Eine Matrix A∈Mat(n×n,K)A\in\Mat(n\cross n,K) heißt invertierbar oder regulär, falls es eine Matrix B∈Mat(n×n,K)B\in\Mat(n\cross n,K) gibt, so dass
BA=EBA=E,
wobei EE die Einheitsmatrix ist.
Die Rechtfertigung von der Invertierbaren zu sprechen wird durch Satz 16AV gegeben, wo gezeigt wird, dass es keinen Unterschied zwischen einer Linksinversen und einer Rechtsinversen gibt und die Inverse einer Matrix eindeutig bestimmt ist. Daher ist die Schreibweise A−1A^\me für die inverse Matrix gerechtfertigt und es gilt
A−1A=AA−1=EA^\me A=AA^\me=E
 
 

Beispiele

Beispiel 16AZ

Die Inverse zur Matrix (1234)\pmatrix {1& 2 \\ 3& 4} ist (−2132−12)\pmatrix {{\uminus 2}& 1\\ \dfrac 3 2 &{-\dfrac 1 2}}.
Die inverse Matrix zur Einheitsmatrix EE ist wiederum EE.

Satz 16AU (Invertierbare Matrizen und bijektive Standardabbildungen)

Eine Matrix A∈Mat(n×n,K)A\in\Mat(n\cross n,K) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Standardabbildung v↦Avv\mapto Av bijektiv ist.

Beweis

"  ⟹  \implies": Wir zeigen, dass der Kern der Standardabbildung der Nullvektor ist und dann folgt aus Satz 15XH die Injektivität und aus Satz 15XR die Bijektivität. Sei v∈Knv\in K^n und BB die Inverse zu AA. Aus Av=0Av=0 folgt v=Ev=BAv=0v=Ev=BAv=0.
"⇐\Leftarrow": Nach Satz 15XI ist die Umkehrung der Standardabbildung linear, wird also durch eine Matrix BB beschrieben. Da die Hintereinanderausführung von Abbildungen gerade der Matrizenmultiplikation entspricht, ist BB die Inverse zu AA. □\qed

Satz 16AV (Eindeutigkeit der inversen Matrix)

Eine Matrix A∈Mat(n×n,K)A\in\Mat(n\cross n,K) sei invertierbar und BA=EBA=E. Dann ist BB eindeutig bestimmt und es gilt BA=AB=EBA=AB=E.

Beweis

Ist AA invertierbar, so ist nach Satz 16AU die Standardabbildung Kn→KnK^n\to K^n; v↦Avv\mapto Av bijektiv, also auch surjektiv. Für jedes w∈Knw\in K^n gibt es ein v∈Knv\in K^n mit w=Av=A(BA)vw=Av=A(BA)v =(AB)Av=ABw=(AB)Av=ABw. Damit ist die Standardabbildung zu ABAB die identische Abbildung und bzgl. der Standardbasis ist deren Darstellungsmatrix die Einheitsmatrix. Also: AB=EAB=E.
Ist C∈Mat(n×n,K)C\in\Mat(n\cross n,K) eine weitere Matrix mit CA=ECA=E, dann gilt C=CE=C(AB)C=CE=C(AB) =(CA)B=EB=B=(CA)B=EB=B, also ist BB eindeutig bestimmt. □\qed

Satz 16B3 (Eigenschaften der inversen Matrix)

Seien A,B∈Mat(n×n,K)A,B\in\Mat(n\cross n, K) invertierbare Matrizen. Dann gilt:
  1. ABAB ist invertierbar und es gilt (AB)−1=B−1A−1(AB)^\me=B^\me A^\me
  2. (A−1)t=(At)−1(A^\me)^t=(A^t)^\me

Beweis

(i) (B−1A−1)AB=B−1(A−1A)B(B^\me A^\me)AB=B^\me (A^\me A)B =B−1B=E=B^\me B=E. (ii) Unter Benutzung von Satz 15XT: (A−1)tAt=(A−1A)t=Et=E(A^\me)^tA^t=(A^\me A)^t=E^t=E.

Inverse einer 2x2 Matrix

Für eine 2x2 Matrix A=abcdA=\matrix{{a b} {c d}} bilden wir die Determinante det⁡(A)=ad−bc\det(A)=ad-bc und erhalten die inverse Matrix mit
A−1=1det⁡(A) (d−b−ca)A^\me=\dfrac 1 {\det(A)}\, \pmatrix{d& {-b}\\ {-c}& a}.
Ist nun det⁡(A)=0\det (A)=0, so gibt es keine inverse Matrix.

Generelle lineare Gruppe

Alle invertierbaren Matrizen aus Mat(n×n,K)\Mat(n\cross n, K) bilden eine Gruppe, die generelle lineare Gruppe oder auch allgemeine lineare Gruppe. Sie wird mit GL⁡(n,K)\plain{GL} (n,K) bezeichnet. Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix und das inverse Element entspricht der inversen Matrix.
Bei GL⁡(n,K)\plain{GL} (n,K) handelt es sich tatsächlich um eine Gruppe, da nach Satz 16B3 das Produkt zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist und die Gruppenaxiome aus der Eigenschaften der Matrizenmultiplikation (Satz 15YY) folgen.

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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