Dimensionsformel für endlich dimensionale Vektorräume

Satz 15XP (Dimensionsformel)

Sei VV und WW endlich dimensionale Vektorräume und f:V→Wf:V\rightarrow W eine lineare Abbildung. Dann gilt:
dim⁡V=dim⁡ ker(f)+dim⁡ im(f)\dim V=\dim\, \Ker(f)+\dim \, \Image(f)(1)

Beweis

Ist eine direkte Folgerung von Satz 15XO. □\qed

Rang von linearen Abbildungen

Für dim⁡ im(f)\dim\, \Image(f) schreibt man auch rang⁡(f)\rang (f) und nennt die Zahl den Rang der Abbildung ff. Formel (1) lautet dann:
dim⁡V=dim⁡ ker(f)+rang⁡ (f)\dim V=\dim \, \Ker(f)+\rang \, (f)
Besteht ker(f)\Ker(f) nur aus dem Nullvektor, so ist VV isomorph zu im(f)\Image(f).

Satz 15XR (Folgerungen aus der Dimensionsformel)

Sei VV und WW endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W und f:V→Wf:V\rightarrow W eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen paarweise äquivalent:
  1. ff ist injektiv
  2. ff ist surjektiv
  3. ff ist bijektiv
Dieser Satz kann als Analogon von Satz 15WV für endlich dimensionale Vektorräume angesehen werden.

Beweis

(i)   ⟹  \implies (ii): Ist ff injektiv, dann gilt nach Satz 15XH ker(f)={0}\Ker(f)=\{0\} und nach der Dimensionsformel und der Voraussetzung ist danndim⁡ im(f)=dim⁡V\dim\, \Image(f)=\dim V =dim⁡W =\dim W Nach Satz 15XL gilt dann aber W≅ im(f)W\cong \, \Image(f), also ist ff surjektiv.
(ii)   ⟹  \implies (iii): Sei ff surjektiv, dann gilt mit der Voraussetzung dim⁡ im(f)=dim⁡V=dim⁡W\dim\, \Image(f)=\dim V=\dim W also ist nach der Dimensionsformel dim⁡ ker(f)=0\dim\, \Ker(f)=0 damit ist ff nach Satz 15XH injektiv und weil ff nach Voraussetzung schon surjektiv war ist es auch bijektiv.
(iii)   ⟹  \implies (i): trivial, denn bijektiv beinhaltet immer injektiv. □\qed
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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