Beispiele für Vektorräume

Nullvektorraum

{0} mit 0+0=00 + 0 = 0 und 0=α00 =\alpha 0 für alle α∈K\alpha\in K ist ein K-Vektorraum, der Nullvektorraum.

Reelle und komplexe Vektorräume

Handelt es sich beim Körper KK um die reellen Zahlen R\R, so spricht man von einem reellen Vektorraum und analog von einem komplexen Vektorraum falls K=CK=\C.
 
 

Einfache Beispiele

Der euklidische Vektorraum Rn\domRn ist eine Vektorraum über den reellen Zahlen. Allgemein kann man für einen beliebigen Körper KK den Vektorraum KnK^n definieren. Dieser enthält die n-Tupel von Elementen aus KK als Vektoren, deren Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise definiert ist.
R\domR ist ein Q\domQ-Vektorraum, wie aus den Körpereigenschaften von R\domR folgt.
Ebenso ist C\domC ein R\domR -Vektorraum und ein Q\domQ-Vektorraum.
Allgemein gilt: Jeder Körper LL, der KK als Teilkörper enthält, ist ein Vektorraum über KK.

Beispiel 15XV (Vektorraum der Abbildungen)

Sei XX eine nicht leere Menge, und sei Abb(X,K):={f:X→K}\Abb(X,K) := \{f : X \rightarrow K\} die Menge der Abbildungen von XX mit Werten aus KK. Für Abbildungen f,g∈Abb(X,K)f, g \in\Abb(X,K) und α∈K\alpha\in K definieren wir:
f+g: (f+g)(x):=f(x)+g(x)∀x∈Xf + g : \, (f+g)(x):= f(x) + g(x)\forall x\in X (Addition)(1)
αf: (αf)(x):=αf(x)∀x∈X\alpha f :\, (\alpha f)(x):=\alpha f(x)\forall x\in X (Skalarmultiplikation)(2)
Die Operationen werden also punktweise für alle x∈Xx\in X definiert.
Abb(X,K)\Abb(X,K) wird dadurch zu einem KK-Vektorraum. Dass Abb(X,K)\Abb(X,K) ein KK-Vektorraum ist, zeigt man durch Rückführung auf die entsprechenden Vektorraumeigenschaften von KK.
Das neutrale Element der Addition (der Nullvektor) ist die Nullabbildung, die jedes Element aus XX auf 0∈K0\in K abbildet: f(x)=0∀x∈Xf(x)=0\forall x\in X
Die zu f∈Abb(X,K)f\in\Abb(X,K) inverse Abbildung −f\uminus f ist nach obiger Festlegung: −f(x)∀x∈X-f(x)\forall x\in X.
Bei Abb(X,K)\Abb(X,K) handelt es sich um einen Funktionenraum mit Werten in KK.
Für zwei Vektorräume VV und WW über dem selben Körper kann man Abb(V,W)\Abb(V,W) mit zu (1) und (2) analogen Festlegungen den Vektorraum aller Abbildungen zwischen den beiden Vektorräumen definieren.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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