Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume

Im Falle der endlichen Dimension stellt sich heraus, dass der Zoo der Vektorräume ziemlich vielen gleichartigen Tieren angefüllt ist. Denn ein nn-dimensionaler Vektorraum über dem Körper KK ist stets isomorph zum KnK^n. Dieser wird daher auch als Standardvektorraum bezeichnet. Damit haben wir das erstaunliche Ergebnis, dass ein endlich dimensionaler Vektorraum vollständig durch seinen Skalarkörper charakterisiert wird.
Genauer gilt:

Satz 15XL (Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume)

Seien VV und WW zwei endlich dimensionale Vektorräume über dem selben Körper KK. Diese sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Also
V≅W  ⟺  dim⁡V=dim⁡WV\cong W\iff \dim V=\dim W

Beweis

"  ⟹  \implies": Sei f:V→Wf:V\rightarrow W ein Isomorphismus und BV=(v1,…,vn)B_V=(v_1,\ldots,v_n) eine Basis von VV. Für ein w∈Ww\in W gibt es dann wegen der Surjektivität von ff ein v∈Vv\in V mit f(v)=wf(v)=w. Sein nun v=α1v1+…+αnvnv=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n eine Basisdarstellung von vv. Dann gilt wegen der Linearität von ff:
w=f(v)=f(α1v1+…+αnvn)w=f(v)=f(\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n) =α1f(v1)+…+αnf(vn)=\alpha_1f(v_1)+\ldots+\alpha_n f(v_n).
Da ww beliebig gewählt war, bilden die
f(v1),…,f(vn)f(v_1),\ldots,f(v_n)(1)
ein Erzeugendensystem für WW.
Wegen der Injektivität und Satz 15XH gilt f(v)=0f(v)=0 nur für den Nullvektor aus VV. Da nun die Vektoren aus BVB_V linear unabhängig sind müssen dann auch die Vektoren aus (1) linear unabhängig sein. Diese bilden mithin eine Basis für WW mit nn Elementen. Daher gilt dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W.
"⇐\Leftarrow": Sei dim⁡V=dim⁡W=n\dim V=\dim W=n und BV=(v1,…,vn)B_V=(v_1,\ldots,v_n) eine Basis von VV und BW=(w1,…,wn)B_W=(w_1,\ldots,w_n) eine Basis von WW. Nach Satz 15XM gibt es dann eine lineare Abbildung f:V→Wf:V\rightarrow W mit f(vk)=wkf(v_k)=w_k für k=1…nk=1\ldots n. Wir müssen noch zeigen, dass ff eine Bijektion ist. Dies folgt direkt aus Satz 15XN, da BW=f(BV)B_W=f(B_V) eine Basis von WW ist. □\qed
 
 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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